Proste pytanie o kwantifikatory.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 25 wrz 2020, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 3 razy
Proste pytanie o kwantifikatory.
Czy zdanie:
\(\displaystyle{ \exists_{a \in \RR} \forall_{b \in \RR} \forall_{c \in \emptyset} : a>b }\)
jest zdaniem prawdziwym? Moim zdaniem, jeżeli gdziekolwiek w łańcuchu kwantyfikatorów pojawi się \(\displaystyle{ \forall_{coś \in \emptyset} }\), to zdanie jest automatycznie prawdziwe, ale nie jestem w 100% pewien.
\(\displaystyle{ \exists_{a \in \RR} \forall_{b \in \RR} \forall_{c \in \emptyset} : a>b }\)
jest zdaniem prawdziwym? Moim zdaniem, jeżeli gdziekolwiek w łańcuchu kwantyfikatorów pojawi się \(\displaystyle{ \forall_{coś \in \emptyset} }\), to zdanie jest automatycznie prawdziwe, ale nie jestem w 100% pewien.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2020, o 23:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Tak.
A co powiesz o zdaniu \(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 25 wrz 2020, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 3 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Już rozumiem.A co powiesz o zdaniu \(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) ?
\(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) jest fałszywe.
Wszystko na prawo, zaczynając od \(\displaystyle{ \forall a\in\emptyset}\), staje się prawdziwe.
Wszystko na prawo, zaczynając od \(\displaystyle{ \exists a\in\emptyset}\), staje się fałszywe.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Powiedział bym raczej, że ta część jest pustym kwantyfikatorem
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_domain
PS Zobacz jeszcze na to: oraz na zdanie z wiki:
Wikipedia na stronie: Kwantyfikator ogólny pisze:Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego \(\displaystyle{ x}\)”, to istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), że to zachodzi. Mamy więc implikację:\(\displaystyle{ \forall x:\phi (x)\implies \exists x:\phi (x)}\)Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi cokolwiek – z fałszem włącznie – bo nie możemy przecież znaleźć żadnego \(\displaystyle{ x}\), dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.
Wikipedia na stronie:Kwantyfikator egzystencjalny pisze:The formula \(\displaystyle{ \exists x\in \emptyset P(x)}\) is always false, regardless of \(\displaystyle{ P(x)}\). This is because \(\displaystyle{ \emptyset}\) denotes the empty set, and no x of any description – let alone an \(\displaystyle{ x}\) fulfilling a given predicate \(\displaystyle{ P(x)}\) – exist in the empty set.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Zgadza się, a dokładniej: podformuła obejmująca ten kwantyfikator i wszystko w jego zasięgu jest uniwersalnie prawdziwa. Na przykład w zdaniu
\(\displaystyle{ (\forall x \in \RR) \big( {\color{red} (\forall y \in \varnothing) \, y \neq x} \implies x \neq x \big)}\)
czerwona podformuła jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), ale "wszystko na prawo zaczynając od \(\displaystyle{ (\forall y \in \varnothing)}\)" jest akurat zawsze fałszywe.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Sam w sobie jeszcze nic - potrzeba jeszcze formuły.
Definicja kwantyfikatora ograniczonego mówi, że \(\displaystyle{ (\exists x\in A)\varphi(x)\iff(\exists x)(x\in A \land \varphi(x))}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ (\exists x\in \emptyset)...\iff(\exists x)(x\in \emptyset \land ...)}\)
JK
Definicja kwantyfikatora ograniczonego mówi, że \(\displaystyle{ (\exists x\in A)\varphi(x)\iff(\exists x)(x\in A \land \varphi(x))}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ (\exists x\in \emptyset)...\iff(\exists x)(x\in \emptyset \land ...)}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Choćby przedstawiona przez Pana Doktora formuła
Mam kilka wątpliwości:
1. Co to znaczy \(\displaystyle{ =}\) w tym kontekście?
2. Element, który należy do zbioru pustego nie istnieje (mam nadzieję, że nie popełniam faux pas) bo jakby jakiś należał, to ten zbiór nie byłby pusty.
Nie rozumiem tego zapisu zupełnie, przeczytałbym to tak, że: istnieje takie \(\displaystyle{ a}\) należące do zbioru pustego, że dla każdego \(\displaystyle{ b}\) należącego do zbioru pustego \(\displaystyle{ a}\) jest równe \(\displaystyle{ b}\)Jan Kraszewski pisze: ↑25 wrz 2020, o 23:18 \(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) ?
Mam kilka wątpliwości:
1. Co to znaczy \(\displaystyle{ =}\) w tym kontekście?
2. Element, który należy do zbioru pustego nie istnieje (mam nadzieję, że nie popełniam faux pas) bo jakby jakiś należał, to ten zbiór nie byłby pusty.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
A co chciałbyś zrozumieć? To był formalny przykład na to, że przypuszczenie
jest błędne.
Równość.
No i co?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Zrozumieć o czym mówimy, powiem na przykładzie:
\(\displaystyle{ \left( \exists a \in \NN\right) \left( \forall b\in \NN\right) a=b}\)
Tutaj rozumiem, że w zbiorze liczb naturalnych istnieje taki element, który jest równy z każdym innym elementem zbioru liczb naturalnych. Oczywiście to nie jest prawda.
Jeżeli chciałbym analogicznie rozumieć zapis Pana Doktora, to bym powiedział:
W zbiorze pustym istnieje taki element, który jest równy z każdym innym elementem zbioru pustego.
Rozumiem, że skoro w zbiorze pustym nie ma żadnych elementów, to tym bardziej nie może istnieć taki, który byłby czemukolwiek równy - zatem to zdanie również jest fałszywe?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Tak.Bran pisze: ↑11 paź 2020, o 02:07Jeżeli chciałbym analogicznie rozumieć zapis Pana Doktora, to bym powiedział:
W zbiorze pustym istnieje taki element, który jest równy z każdym innym elementem zbioru pustego.
Rozumiem, że skoro w zbiorze pustym nie ma żadnych elementów, to tym bardziej nie może istnieć taki, który byłby czemukolwiek równy - zatem to zdanie również jest fałszywe?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
A nie jest tak, że żeby mówić o relacji równości w jakimś zbiorze, to musimy mieć pewność, że jest to zbiór liczbowy (a pusty jeżeli mnie intuicja nie myli - liczbowy nie jest)?
Czy wystarczy to, żeby nie zawierał elementów, dla których taka relacja nie ma sensu?
Czy wystarczy to, żeby nie zawierał elementów, dla których taka relacja nie ma sensu?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
W żadnym wypadku. Przecież możesz porównywać elementy dowolnych zbiorów.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem liczbowym \(\displaystyle{ \left\{1, 2 \right\} }\)Jan Kraszewski pisze: ↑11 paź 2020, o 11:29W żadnym wypadku. Przecież możesz porównywać elementy dowolnych zbiorów.
\(\displaystyle{ B}\) będzie zbiorem liter \(\displaystyle{ \left\{ a, b\right\} }\)
Jeżeli się nie mylę oba zbiory są jak najbardziej poprawnie zdefiniowane przez swoje elementy. Wypada tylko zdefiniować czym są litery \(\displaystyle{ a,b}\) chcę, żeby to były znaki, które w języku naturalnym czyta się w odpowiedni sposób i nie miały żadnej wartości liczbowej.
Co wówczas miałoby oznaczać, że \(\displaystyle{ a = 2}\)?
Ja bym zrozumiał, że jest to "siłowe" przypisanie wartości czemuś co z "natury" wartości nie ma, tylko że nie jestem pewny czy relacja równości ma taką moc, zawsze wydawało mi się, że to jest porównanie dwóch WARTOŚCI.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Proste pytanie o kwantifikatory.
Równość dwóch zbiorów można dobrze zdefiniować bez odwoływania się do natury czy równości poszczególnych elementów. Przykładowo korzystając z zasady ekstensjonalności:
o oznacza, że zbiory są równe gdy dowolnie wybrany element z któregokolwiek jest też elementem tego drugiego. W Twoim przypadku wystarczy wybrać np. element \(\displaystyle{ 1}\) i poszukać go w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\} }\) gdzie go oczywiście nie ma. Zatem równość nie zachodzi. I nie ma co na siłę przypisywać literą wartości liczbowych skoro sam na początku mówisz, że to są liter (czyli zwykłe znaczki). A co ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\) i zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\) w jednym są cyfry a w drugim są liczby. Te zbiory nie są równe.
No i może jeszcze warto nadmienić, że gdy definiujemy zbiór przez (odpowiednią) funkcję zdaniową \(\displaystyle{ W}\) to robimy to w taki sposób aby:
co oznacza, że bycie elementem takiego zbioru jest równoważne ze spełnianiem własności \(\displaystyle{ W}\) i odwrotnie. Zatem jeśli określiłeś:
\(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}=\left\{ x: x \text{ jest pierwszą lub drugą literą alfabetu}\right\} }\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}=\left\{ x: x \text{ jest naturalne i znajduje się pomiędzy } \frac{1}{2} \text{ a } \frac{5}{2} \right\} }\)
to automatycznie mamy, że \(\displaystyle{ 1\not \in\left\{ a,b\right\} }\) bo \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwszą lub drugą literą alfabetu. Z drugiej strony \(\displaystyle{ a\not\in\left\{ 1,2\right\} }\) bo \(\displaystyle{ a}\) nie jest naturalne i w ogólnie nie jest liczbą i jakiekolwiek porównanie nie ma sensu.
\(\displaystyle{ A=B \Leftrightarrow \left( \forall x\right) \left( x\in A \Leftrightarrow x\in B\right) }\)
o oznacza, że zbiory są równe gdy dowolnie wybrany element z któregokolwiek jest też elementem tego drugiego. W Twoim przypadku wystarczy wybrać np. element \(\displaystyle{ 1}\) i poszukać go w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\} }\) gdzie go oczywiście nie ma. Zatem równość nie zachodzi. I nie ma co na siłę przypisywać literą wartości liczbowych skoro sam na początku mówisz, że to są liter (czyli zwykłe znaczki). A co ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\) i zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\) w jednym są cyfry a w drugim są liczby. Te zbiory nie są równe.
No i może jeszcze warto nadmienić, że gdy definiujemy zbiór przez (odpowiednią) funkcję zdaniową \(\displaystyle{ W}\) to robimy to w taki sposób aby:
\(\displaystyle{ a\in \left\{ x:W(x)\right\} \Leftrightarrow W(a) }\)
co oznacza, że bycie elementem takiego zbioru jest równoważne ze spełnianiem własności \(\displaystyle{ W}\) i odwrotnie. Zatem jeśli określiłeś:
\(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}=\left\{ x: x \text{ jest pierwszą lub drugą literą alfabetu}\right\} }\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}=\left\{ x: x \text{ jest naturalne i znajduje się pomiędzy } \frac{1}{2} \text{ a } \frac{5}{2} \right\} }\)
to automatycznie mamy, że \(\displaystyle{ 1\not \in\left\{ a,b\right\} }\) bo \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwszą lub drugą literą alfabetu. Z drugiej strony \(\displaystyle{ a\not\in\left\{ 1,2\right\} }\) bo \(\displaystyle{ a}\) nie jest naturalne i w ogólnie nie jest liczbą i jakiekolwiek porównanie nie ma sensu.