Proste pytanie o kwantifikatory.

[thomston1]

Czy zdanie:

\(\displaystyle{ \exists_{a \in \RR} \forall_{b \in \RR} \forall_{c \in \emptyset} : a>b }\)

jest zdaniem prawdziwym? Moim zdaniem, jeżeli gdziekolwiek w łańcuchu kwantyfikatorów pojawi się \(\displaystyle{ \forall_{coś \in \emptyset} }\), to zdanie jest automatycznie prawdziwe, ale nie jestem w 100% pewien.

[Jan Kraszewski]

Czy zdanie:

\(\displaystyle{ \exists_{a \in \RR} \forall_{b \in \RR} \forall_{c \in \emptyset} : a>b }\)

jest zdaniem prawdziwym?

Tak.

Moim zdaniem, jeżeli gdziekolwiek w łańcuchu kwantyfikatorów pojawi się \(\displaystyle{ \forall_{coś \in \emptyset} }\), to zdanie jest automatycznie prawdziwe, ale nie jestem w 100% pewien.

A co powiesz o zdaniu \(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) ?

JK

[thomston1]

A co powiesz o zdaniu \(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) ?

Już rozumiem.

\(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) jest fałszywe.

Wszystko na prawo, zaczynając od \(\displaystyle{ \forall a\in\emptyset}\), staje się prawdziwe.

Wszystko na prawo, zaczynając od \(\displaystyle{ \exists a\in\emptyset}\), staje się fałszywe.

[Janusz Tracz]

Wszystko na prawo, zaczynając od \(\displaystyle{ \forall a\in\emptyset}\), staje się prawdziwe.

Powiedział bym raczej, że ta część jest pustym kwantyfikatorem

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_domain

a nie, że całość jest prawdziwa, wszak potem może wystąpić \(\displaystyle{ \exists b\in\emptyset}\). Ogólnie to Twoje rozważania kojarzą mi się ze stwierdzeniem, że elementy zbioru pustego mają dowolną własność. Ponieważ aby pokazać \(\displaystyle{ \left( \forall a\in\emptyset\right)\phi(a)}\) musisz niejako przejść po wszystkich elementach \(\displaystyle{ a}\) które są w \(\displaystyle{ \emptyset}\) co może być mało intuicyjne. To w tym monecie osobiście zastanawiam się nad prawdziwości zaprzeczenia \(\displaystyle{ \left( \forall a\in\emptyset\right)\phi(a)}\) czyli \(\displaystyle{ \left( \exists a\in\emptyset\right) \neg \phi(a) }\). W tym celu musiał bym pokazać choć jeden element z \(\displaystyle{ \emptyset}\) które nie ma własności \(\displaystyle{ \phi(a)}\). Oczywiście nie jestem w stanie wskazać takiego świadka ze \(\displaystyle{ \emptyset}\) dla którego zachodziło by \(\displaystyle{ \neg \phi(a)}\) bo w ogołe nie jestem w stanie pokazać elementu należącego do \(\displaystyle{ \emptyset}\), zatem zaprzeczenie \(\displaystyle{ \left( \exists a\in\emptyset\right) \neg \phi(a) }\) musi być prawdziwe. Można też zamiast: \(\displaystyle{ \left( \forall a\in\emptyset\right)\phi(a)}\) zapisać \(\displaystyle{ \left( \forall a\right)\left( a\in\emptyset \Rightarrow \phi(a)\right) }\), wtedy widać, że poprzednik implikacji nigdy nie jest prawdziwy zatem z własności implikacji całość jest prawdą.

PS Zobacz jeszcze na to: oraz na zdanie z wiki:

Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego \(\displaystyle{ x}\)”, to istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), że to zachodzi. Mamy więc implikację:

\(\displaystyle{ \forall x:\phi (x)\implies \exists x:\phi (x)}\)

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi cokolwiek – z fałszem włącznie – bo nie możemy przecież znaleźć żadnego \(\displaystyle{ x}\), dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.

The formula \(\displaystyle{ \exists x\in \emptyset P(x)}\) is always false, regardless of \(\displaystyle{ P(x)}\). This is because \(\displaystyle{ \emptyset}\) denotes the empty set, and no x of any description – let alone an \(\displaystyle{ x}\) fulfilling a given predicate \(\displaystyle{ P(x)}\) – exist in the empty set.

[Dasio11]

Wszystko na prawo, zaczynając od \(\displaystyle{ \forall a\in\emptyset}\), staje się prawdziwe.

Zgadza się, a dokładniej: podformuła obejmująca ten kwantyfikator i wszystko w jego zasięgu jest uniwersalnie prawdziwa. Na przykład w zdaniu

\(\displaystyle{ (\forall x \in \RR) \big( {\color{red} (\forall y \in \varnothing) \, y \neq x} \implies x \neq x \big)}\)

czerwona podformuła jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), ale "wszystko na prawo zaczynając od \(\displaystyle{ (\forall y \in \varnothing)}\)" jest akurat zawsze fałszywe.

[Bran]

Przepraszam, że się wtrącę, ale bardzo frapuje mnie zapis \(\displaystyle{ \exists a \in \emptyset,}\) co on oznacza?

[Jan Kraszewski]

Sam w sobie jeszcze nic - potrzeba jeszcze formuły.

Definicja kwantyfikatora ograniczonego mówi, że \(\displaystyle{ (\exists x\in A)\varphi(x)\iff(\exists x)(x\in A \land \varphi(x))}\). Wobec tego

\(\displaystyle{ (\exists x\in \emptyset)...\iff(\exists x)(x\in \emptyset \land ...)}\)

JK

[Bran]

Choćby przedstawiona przez Pana Doktora formuła

\(\displaystyle{ (\exists a\in\emptyset)(\forall b\in\emptyset)a=b}\) ?

Nie rozumiem tego zapisu zupełnie, przeczytałbym to tak, że: istnieje takie \(\displaystyle{ a}\) należące do zbioru pustego, że dla każdego \(\displaystyle{ b}\) należącego do zbioru pustego \(\displaystyle{ a}\) jest równe \(\displaystyle{ b}\)

Mam kilka wątpliwości:
1. Co to znaczy \(\displaystyle{ =}\) w tym kontekście?
2. Element, który należy do zbioru pustego nie istnieje (mam nadzieję, że nie popełniam faux pas) bo jakby jakiś należał, to ten zbiór nie byłby pusty.

[Jan Kraszewski]

Nie rozumiem tego zapisu zupełnie, przeczytałbym to tak, że: istnieje takie \(\displaystyle{ a}\) należące do zbioru pustego, że dla każdego \(\displaystyle{ b}\) należącego do zbioru pustego \(\displaystyle{ a}\) jest równe \(\displaystyle{ b}\)

A co chciałbyś zrozumieć? To był formalny przykład na to, że przypuszczenie

Moim zdaniem, jeżeli gdziekolwiek w łańcuchu kwantyfikatorów pojawi się \(\displaystyle{ \forall_{coś \in \emptyset} }\), to zdanie jest automatycznie prawdziwe,

jest błędne.

1. Co to znaczy \(\displaystyle{ =}\) w tym kontekście?

Równość.

2. Element, który należy do zbioru pustego nie istnieje (mam nadzieję, że nie popełniam faux pas) bo jakby jakiś należał, to ten zbiór nie byłby pusty.

No i co?

JK

[Bran]

Nie rozumiem tego zapisu zupełnie, przeczytałbym to tak, że: istnieje takie \(\displaystyle{ a}\) należące do zbioru pustego, że dla każdego \(\displaystyle{ b}\) należącego do zbioru pustego \(\displaystyle{ a}\) jest równe \(\displaystyle{ b}\)

A co chciałbyś zrozumieć?

Zrozumieć o czym mówimy, powiem na przykładzie:
\(\displaystyle{ \left( \exists a \in \NN\right) \left( \forall b\in \NN\right) a=b}\)

Tutaj rozumiem, że w zbiorze liczb naturalnych istnieje taki element, który jest równy z każdym innym elementem zbioru liczb naturalnych. Oczywiście to nie jest prawda.

Jeżeli chciałbym analogicznie rozumieć zapis Pana Doktora, to bym powiedział:

W zbiorze pustym istnieje taki element, który jest równy z każdym innym elementem zbioru pustego.

Rozumiem, że skoro w zbiorze pustym nie ma żadnych elementów, to tym bardziej nie może istnieć taki, który byłby czemukolwiek równy - zatem to zdanie również jest fałszywe?

[Jan Kraszewski]

Jeżeli chciałbym analogicznie rozumieć zapis Pana Doktora, to bym powiedział:

W zbiorze pustym istnieje taki element, który jest równy z każdym innym elementem zbioru pustego.

Rozumiem, że skoro w zbiorze pustym nie ma żadnych elementów, to tym bardziej nie może istnieć taki, który byłby czemukolwiek równy - zatem to zdanie również jest fałszywe?

Tak.

JK

[Bran]

A nie jest tak, że żeby mówić o relacji równości w jakimś zbiorze, to musimy mieć pewność, że jest to zbiór liczbowy (a pusty jeżeli mnie intuicja nie myli - liczbowy nie jest)?
Czy wystarczy to, żeby nie zawierał elementów, dla których taka relacja nie ma sensu?

[Jan Kraszewski]

A nie jest tak, że żeby mówić o relacji równości w jakimś zbiorze, to musimy mieć pewność, że jest to zbiór liczbowy

W żadnym wypadku. Przecież możesz porównywać elementy dowolnych zbiorów.

Czy wystarczy to, żeby nie zawierał elementów, dla których taka relacja nie ma sensu?

JK

[Bran]

A nie jest tak, że żeby mówić o relacji równości w jakimś zbiorze, to musimy mieć pewność, że jest to zbiór liczbowy

W żadnym wypadku. Przecież możesz porównywać elementy dowolnych zbiorów.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem liczbowym \(\displaystyle{ \left\{1, 2 \right\} }\)
\(\displaystyle{ B}\) będzie zbiorem liter \(\displaystyle{ \left\{ a, b\right\} }\)

Jeżeli się nie mylę oba zbiory są jak najbardziej poprawnie zdefiniowane przez swoje elementy. Wypada tylko zdefiniować czym są litery \(\displaystyle{ a,b}\) chcę, żeby to były znaki, które w języku naturalnym czyta się w odpowiedni sposób i nie miały żadnej wartości liczbowej.

Co wówczas miałoby oznaczać, że \(\displaystyle{ a = 2}\)?
Ja bym zrozumiał, że jest to "siłowe" przypisanie wartości czemuś co z "natury" wartości nie ma, tylko że nie jestem pewny czy relacja równości ma taką moc, zawsze wydawało mi się, że to jest porównanie dwóch WARTOŚCI.

[Janusz Tracz]

Równość dwóch zbiorów można dobrze zdefiniować bez odwoływania się do natury czy równości poszczególnych elementów. Przykładowo korzystając z zasady ekstensjonalności:

\(\displaystyle{ A=B \Leftrightarrow \left( \forall x\right) \left( x\in A \Leftrightarrow x\in B\right) }\)

o oznacza, że zbiory są równe gdy dowolnie wybrany element z któregokolwiek jest też elementem tego drugiego. W Twoim przypadku wystarczy wybrać np. element \(\displaystyle{ 1}\) i poszukać go w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\} }\) gdzie go oczywiście nie ma. Zatem równość nie zachodzi. I nie ma co na siłę przypisywać literą wartości liczbowych skoro sam na początku mówisz, że to są liter (czyli zwykłe znaczki). A co ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\) i zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} }\) w jednym są cyfry a w drugim są liczby. Te zbiory nie są równe.

No i może jeszcze warto nadmienić, że gdy definiujemy zbiór przez (odpowiednią) funkcję zdaniową \(\displaystyle{ W}\) to robimy to w taki sposób aby:

\(\displaystyle{ a\in \left\{ x:W(x)\right\} \Leftrightarrow W(a) }\)

co oznacza, że bycie elementem takiego zbioru jest równoważne ze spełnianiem własności \(\displaystyle{ W}\) i odwrotnie. Zatem jeśli określiłeś:

\(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}=\left\{ x: x \text{ jest pierwszą lub drugą literą alfabetu}\right\} }\)

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}=\left\{ x: x \text{ jest naturalne i znajduje się pomiędzy } \frac{1}{2} \text{ a } \frac{5}{2} \right\} }\)

to automatycznie mamy, że \(\displaystyle{ 1\not \in\left\{ a,b\right\} }\) bo \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwszą lub drugą literą alfabetu. Z drugiej strony \(\displaystyle{ a\not\in\left\{ 1,2\right\} }\) bo \(\displaystyle{ a}\) nie jest naturalne i w ogólnie nie jest liczbą i jakiekolwiek porównanie nie ma sensu.