Wyznaczyc APN I KPN - kilka pytań

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
itsonlylogic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 26 mar 2020, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18

Wyznaczyc APN I KPN - kilka pytań

Post autor: itsonlylogic » 26 mar 2020, o 16:46

1. Jak z tego zrobić KPN? doszedłem do APN ale nie jestem pewny czy w ogóle dobrze to zrobiłem.
\(\displaystyle{ ¬(𝑝→𝑞)→𝑝∨𝑞 \\
¬[¬(𝑝→𝑞)] ∨ p ∨ q\\
𝑝→𝑞 \lor (p ∨ q)\\
¬p \lor q \lor p ∨ q}\)


2. Czy dobrze wyznaczyłem KPN? mam wątpliwości co do fragmentu:
\(\displaystyle{
(p∧¬q) ∨ (𝑞 ∨ ¬p)\\
(p∧¬q) ∨ 𝑞 ∨ ¬p\\
(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ∨ ¬p \\
(p ∨ q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q ∨ ¬p )}\)


3. W jednym z podręczników widziałem takie zadanie:
\(\displaystyle{ (¬p ∧ ¬q) ∨ (s ∧ p) \\
(¬p \vee s) ∧ (¬p \vee p) ∧ (¬q \vee s) ∧ (¬q \vee p)}\)

Było napisane że jest to podstawienie pod wzór:
\(\displaystyle{ \alpha \vee ( \beta \wedge Y) }\) przekształcamy na \(\displaystyle{ ( \alpha \vee \beta ) \wedge ( \alpha \vee Y)}\)
Mógłby ktoś jakoś bardziej to rozpisać? bo dla mnie zastosowanie powyższego przekształcenia by było jedynie w przypadku:
np.
\(\displaystyle{ (¬p ∧ ¬q) ∨ s }\)
zamieniłbym na:
\(\displaystyle{ (s ∨ ¬p) ∧ (s ∨ ¬q)}\)
Ostatnio zmieniony 26 mar 2020, o 17:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie zmieniaj rozmiaru czcionki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26168
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Re: Wyznaczyc APN I KPN - kilka pytań

Post autor: Jan Kraszewski » 26 mar 2020, o 16:58

itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 16:46
1. Jak z tego zrobić KPN? doszedłem do APN ale nie jestem pewny czy w ogóle dobrze to zrobiłem.
\(\displaystyle{ ¬(𝑝→𝑞)→𝑝∨𝑞 \\
¬[¬(𝑝→𝑞)] ∨ p ∨ q\\
𝑝→𝑞 \lor (p ∨ q)\\
¬p \lor q \lor p ∨ q}\)
To jest tautologia. Sprawdź może, jak zapisywaliście APN/KPN tautologii.
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 16:46
2. Czy dobrze wyznaczyłem KPN? mam wątpliwości co do fragmentu:
\(\displaystyle{ (p∧¬q) ∨ 𝑞 ∨ ¬p\\
(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ∨ ¬p \\
(p ∨ q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q ∨ ¬p )}\)
To też jest tautologia. Uwaga jw.
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 16:46
3. W jednym z podręczników widziałem takie zadanie:
\(\displaystyle{ (¬p ∧ ¬q) ∨ (s ∧ p) \\
(¬p ∧ s) ∧ (¬p ∧ p) ∧ (¬q ∧ s) ∧ (¬q ∧ p)}\)

Było napisane że jest to podstawienie pod wzór:
\(\displaystyle{ \alpha \vee ( \beta \wedge Y) }\) przekształcamy na \(\displaystyle{ ( \alpha \vee \beta ) \wedge ( \alpha \vee Y)}\)
Po prostu trzykrotnie stosujesz wspomnianą rozdzielność alternatywy względem koniunkcji, przy czym za pierwszym razem przyjmujesz \(\displaystyle{ \alpha=(¬p ∧ ¬q)}\).

JK

itsonlylogic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 26 mar 2020, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18

Re: Wyznaczyc APN I KPN - kilka pytań

Post autor: itsonlylogic » 26 mar 2020, o 17:50

1. No właśnie nie wiem jak to zapisać, mieliśmy przykłady w ktorych tak jak w dwójce wychodziło mi po prostu, ze widziałem APN I KPN, wystarczyło oznaczyć jako APN/KPN i tyle. A w jaki sposób Pan by to zapisał? Po prostu dać odpowiedź, że "jest to tautologia rachunku zdań"?? Ewentualnie jak inaczej mogę zapisać KPN tautologii?

2. Czyli jak wyszło mi:
\(\displaystyle{
(p∧¬q) ∨ (𝑞 ∨ ¬p)\\
}\)

To po prostu oznaczam jako APN

\(\displaystyle{ (p ∨ q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q ∨ ¬p )}\)
To po prostu oznaczam jako KPN?

Czyli dobrze przekształciłem? Czy po prostu już na etapie APN mogłem oznaczyć:
\(\displaystyle{
(p∧¬q) ∨ (𝑞 ∨ ¬p)\\
}\)

jako APN i dopisać, że jest to tautologia rachunku zdań?
Ale załóżmy gdybym nie zauważył, że jest to tautologia, to mógłbym tak przekształcić? z APN do KPN? Byłoby to poprawne?

PS. No jak sobie rozpisałem w tabelce to teraz widzę. Tak na szybko poznał Pan, ze jest to tautologia po tym że było p v ¬p i to zawsze musi być spełnione, a w drugim ¬q ∨ q też zawsze jest spełnione? :D No teraz nawet jak już się przyjże temu
\(\displaystyle{
(p∧¬q) ∨ (𝑞 ∨ ¬p)\\
}\)

to też widzę, że to zawsze będzie spełnione i jest to tautologia, ale wcześniej nawet o tym nie myślałem :D

3.
PS Jakby mógł Pan wyedytować pierwszy POST bo miało być zamiast:

\(\displaystyle{ (¬p ∧ ¬q) ∨ (s ∧ p) \\
(¬p ∧ s) ∧ (¬p ∧ p) ∧ (¬q ∧ s) ∧ (¬q ∧ p)}\)


to:

\(\displaystyle{ (¬p ∧ ¬q) ∨ (s ∧ p) \\
(¬p \vee s) ∧ (¬p \vee p) ∧ (¬q \vee s) ∧ (¬q \vee p)}\)


Ale dokładnie tak miał Pan rację, trzeba było trzy razy ten wzór zastosować, DZIĘKUJE!
Dla potomnych rozpisze:
\(\displaystyle{ (¬p ∧ ¬q) ∨ (s ∧ p) \\
(¬p ∧ ¬q ∨ s) ∧ (¬p ∧¬q ∨ p) \\
(¬p ∨ s) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ p) ∧ (¬q ∨ p)
}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26168
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Re: Wyznaczyc APN I KPN - kilka pytań

Post autor: Jan Kraszewski » 26 mar 2020, o 18:12

itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 17:50
1. No właśnie nie wiem jak to zapisać, mieliśmy przykłady w ktorych tak jak w dwójce wychodziło mi po prostu, ze widziałem APN I KPN, wystarczyło oznaczyć jako APN/KPN i tyle. A w jaki sposób Pan by to zapisał? Po prostu dać odpowiedź, że "jest to tautologia rachunku zdań"?? Ewentualnie jak inaczej mogę zapisać KPN tautologii?
Ja bym zapisał np. \(\displaystyle{ p\lor\neg p}\) - to jest zarówno APN, jak i KPN dla dowolnej tautologii.

Tutaj jest dyskusja na ten temat.

Stąd moje pytanie - może akurat u Ciebie oznacza się tautologię w specjalny sposób...
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 17:50
2. Czyli jak wyszło mi:
\(\displaystyle{ (p∧¬q) ∨ (𝑞 ∨ ¬p)}\)
To po prostu oznaczam jako APN
Tak, ale raczej bez jednych nawiasów: \(\displaystyle{ (p∧¬q) ∨q ∨ ¬p}\)
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 17:50
\(\displaystyle{ (p ∨ q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q ∨ ¬p )}\)
To po prostu oznaczam jako KPN?
Można.
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 17:50
Czyli dobrze przekształciłem? Czy po prostu już na etapie APN mogłem oznaczyć:
\(\displaystyle{
(p∧¬q) ∨ (𝑞 ∨ ¬p)
}\)

jako APN i dopisać, że jest to tautologia rachunku zdań?
To mogłoby być za mało. Spostrzeżenie, że coś jest tautologią, pozwala bez uciążliwego przekształcania użyć od razu postaci \(\displaystyle{ p\lor\neg p}\) jako APN/KPN. Samo w sobie nie stanowi formalnie rzecz biorąc odpowiedzi.
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 17:50
Ale załóżmy gdybym nie zauważył, że jest to tautologia, to mógłbym tak przekształcić? z APN do KPN? Byłoby to poprawne?
Tak.
itsonlylogic pisze:
26 mar 2020, o 17:50
Tak na szybko poznał Pan, ze jest to tautologia po tym że było \(\displaystyle{ p v ¬p}\) i to zawsze musi być spełnione, a w drugim \(\displaystyle{ ¬q ∨ q}\) też zawsze jest spełnione?
Mniej więcej, tylko ja nie muszę nic rozpisywać - mam trochę doświadczenia i wystarczy mi popatrzeć.

JK

ODPOWIEDZ