Proszę ocenić czy ten dowód wygląda dobrze. Chodzi o udowodnienie indukcji mat. za pomocą zasady minimum.
Zakładam nie wprost, że twierdzenie nie jest prawdziwe czyli jeżeli zasada minimum jest prawdziwa to zasada indukcji nie jest. Jeżeli więc zasada indukcji matematycznej nie jest prawdziwa to jej poprzednik implikacji jest prawdziwy, a następnik nie jest. Jeżeli następnik implikacji zasady indukcji matematycznej nie jest prawdziwy to istnieje `n \in \NN` taki, że prawdziwe jest zdanie `\not \phi(n)`. Zatem zbiór `B := \{n \in \NN: \not phi(n)\}` nie jest pusty. Z zasady minimum wiem, że zbiór `B` ma element najmniejszy `a`. Z poprzednika implikacji zasady indukcji matematycznej wiem, że element `a` nie jest równy `0`, bo inaczej `\phi(a)` byłoby prawdziwe, a więc nie należałoby do zbioru `a` i mielibyśmy sprzeczność. Zatem `a > 0`. Rozpatrzmy element `x:= a-1`. Skoro `a` jest liczbą naturalną większą od zera to również `x` jest liczbą naturalną. Wiemy również, że `\phi(x)` jest prawdziwe, bo inaczej `a` nie byłoby liczbą najmniejsza. Skoro `\phi(x)` jest prawdziwe to z poprzednika implikacji indukcji matematycznej wynika również, że `phi(x+1) = phi(a)` jest prawdziwe. Mamy zatem `phi(a)` oraz `\not\phi(a)`, które są prawdziwe co daje sprzeczność, a zatem nasze pierwotne założenie nie wprost doprowadziło do sprzeczności zatem z zasady minimum musi wynikać zasada indukcji matematycznej.
Zasad minimum implikuje zasadę indukcji matematycznej
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy