Zasad minimum implikuje zasadę indukcji matematycznej

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
zdl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 18 sie 2019, o 21:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Zasad minimum implikuje zasadę indukcji matematycznej

Post autor: zdl »

Proszę ocenić czy ten dowód wygląda dobrze. Chodzi o udowodnienie indukcji mat. za pomocą zasady minimum.

Zakładam nie wprost, że twierdzenie nie jest prawdziwe czyli jeżeli zasada minimum jest prawdziwa to zasada indukcji nie jest. Jeżeli więc zasada indukcji matematycznej nie jest prawdziwa to jej poprzednik implikacji jest prawdziwy, a następnik nie jest. Jeżeli następnik implikacji zasady indukcji matematycznej nie jest prawdziwy to istnieje `n \in \NN` taki, że prawdziwe jest zdanie `\not \phi(n)`. Zatem zbiór `B := \{n \in \NN: \not phi(n)\}` nie jest pusty. Z zasady minimum wiem, że zbiór `B` ma element najmniejszy `a`. Z poprzednika implikacji zasady indukcji matematycznej wiem, że element `a` nie jest równy `0`, bo inaczej `\phi(a)` byłoby prawdziwe, a więc nie należałoby do zbioru `a` i mielibyśmy sprzeczność. Zatem `a > 0`. Rozpatrzmy element `x:= a-1`. Skoro `a` jest liczbą naturalną większą od zera to również `x` jest liczbą naturalną. Wiemy również, że `\phi(x)` jest prawdziwe, bo inaczej `a` nie byłoby liczbą najmniejsza. Skoro `\phi(x)` jest prawdziwe to z poprzednika implikacji indukcji matematycznej wynika również, że `phi(x+1) = phi(a)` jest prawdziwe. Mamy zatem `phi(a)` oraz `\not\phi(a)`, które są prawdziwe co daje sprzeczność, a zatem nasze pierwotne założenie nie wprost doprowadziło do sprzeczności zatem z zasady minimum musi wynikać zasada indukcji matematycznej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zasad minimum implikuje zasadę indukcji matematycznej

Post autor: Jan Kraszewski »

Jest OK.

JK
ODPOWIEDZ