logiczny aspekt przestrzeni metrycznej

[foundofmath]

Czasem, a może nawet często można znaleźć następującą "definicję" zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej:

\(\displaystyle{ (X,d)}\) - przestrzeń metryczna (\(\displaystyle{ X}\) - zbiór, \(\displaystyle{ d}\) - metryka na \(\displaystyle{ X}\))

\(\displaystyle{ U \ \mbox{jest otwarty w } (X,d) \Leftrightarrow U \subset X \wedge \forall x ( x \in U \Rightarrow \exists r \in \mathbb{R} (r>0 \wedge B(x,r) \subset U))}\)

Czy nie powinno być \(\displaystyle{ U \ \mbox{jest otwarty w } (X,d) \Leftrightarrow U \subset X \wedge \forall x (x \in U \Rightarrow \exists r \in \mathbb{R} (r>0 \wedge \forall y ( d(x,y)<r \Rightarrow y \in U ) ))}\) ? Nie chodzi oczywiście o formę tylko o treść, a zarzut sprowadza się do tego, że termin \(\displaystyle{ B(x,r)}\) jest wprowadzony w przypadku, gdy \(\displaystyle{ x \in X}\) i w takim wypadku oznacza \(\displaystyle{ \left\{ y \in X: d(x,y) <r\right\} }\), podczas gdy nie zawsze taki \(\displaystyle{ x}\) musi istnieć. A jeśli dalej jest błąd z uwzględnieniem poprawy, to jak być powinno?

[Dasio11]

Oba warunki poprawnie charakteryzują otwarte podzbiory przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, d)}\) i nie widzę, na czym miałaby polegać wyższość Twojej poprawki nad oryginałem, skoro różni się ona tylko dokładniejszym rozpisaniem warunku \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq U}\).

podczas gdy nie zawsze taki \(\displaystyle{ x}\) musi istnieć.

Jaki \(\displaystyle{ x}\) nie musi istnieć i w jaki sposób ten brak istnienia miałby powodować niepoprawność pierwszej definicji?

[a4karo]

A co miałby oznaczać zapis `d(x,y)` gdy `x` nie należy do `X`?

[foundofmath]

Oba warunki poprawnie charakteryzują otwarte podzbiory przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, d)}\) i nie widzę, na czym miałaby polegać wyższość Twojej poprawki nad oryginałem, skoro różni się ona tylko dokładniejszym rozpisaniem warunku \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq U}\).

podczas gdy nie zawsze taki \(\displaystyle{ x}\) musi istnieć.

Jaki \(\displaystyle{ x}\) nie musi istnieć i w jaki sposób ten brak istnienia miałby powodować niepoprawność pierwszej definicji?

Chodzi mi o to, że w pierwszym ujęciu kula jest definiowana w oparciu o \(\displaystyle{ x}\) spełniający \(\displaystyle{ x \in X}\), kiedy może być \(\displaystyle{ x \notin X}\)

[Dasio11]

Jeśli uznajesz \(\displaystyle{ (\forall x)}\) za kwantyfikator nieograniczony, to masz trochę racji, ale Twoja poprawka w niczym nie pomaga - patrz uwaga a4karo. Ja jednak uznałbym, że kwantyfikatory bez podanego zakresu domyślnie przebiegają zbiór \(\displaystyle{ X}\), a wtedy problemu nie ma ani z oryginalną, ani z poprawioną wersją definicji.

A rozwiązaniem według mnie najlepszym byłoby sformułowanie definicji słowami:

Podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) jest otwarty (w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, d)}\)), jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ r > 0}\), taka że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq U}\)

jest ona bowiem i precyzyjna, i nieobciążona żadną sztuczną wadą formalną.

[foundofmath]

Jeśli uznajesz \(\displaystyle{ (\forall x)}\) za kwantyfikator nieograniczony, to masz trochę racji, ale Twoja poprawka w niczym nie pomaga - patrz uwaga a4karo. Ja jednak uznałbym, że kwantyfikatory bez podanego zakresu domyślnie przebiegają zbiór \(\displaystyle{ X}\), a wtedy problemu nie ma ani z oryginalną, ani z poprawioną wersją definicji.

Tak, oczywiście takie jest założenie, że kwantyfikatory bez podanego zakresu domyślnie przebiegają \(\displaystyle{ X}\). Ale nawet wówczas możliwa jest sytuacja, że \(\displaystyle{ x \notin X}\) (\(\displaystyle{ X=\emptyset}\)), a \(\displaystyle{ B(x,r)}\) jest definiowana w oparciu o \(\displaystyle{ x \in X}\)

[Dasio11]

Kwantyfikator \(\displaystyle{ (\forall x \in X)}\) przebiega wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\) i nic ponadto. Jeśli \(\displaystyle{ X = \varnothing}\), to ów kwantyfikator nie przebiega wprawdzie żadnego elementu zbioru \(\displaystyle{ X}\) (bo takiego nie ma), ale tym bardziej nie przebiega on żadnego elementu spoza \(\displaystyle{ X}\) (bo dlaczego miałby przebiegać?). Można to ująć tak, że kwantyfikator "robi pusty przebieg" i wobec braku kontrprzykładów - zwraca wartość prawdziwą. Nie jest więc prawdą, że w omawianym zapisie możliwe jest, by \(\displaystyle{ x \notin X}\).

[foundofmath]

Możliwe, że się wyraziłem niezręcznie, napisałem skrótowo. Pisząc "możliwe" a propos \(\displaystyle{ x \notin X}\), nie chodziło mi o to, że takie \(\displaystyle{ x}\) istnieje w \(\displaystyle{ X}\), gdy \(\displaystyle{ X=\emptyset}\) albo że kwantyfikator przebiega elementy innych zbiorów niż \(\displaystyle{ \emptyset}\) tylko o to, że w przypadku, gdy \(\displaystyle{ X=\emptyset}\) wyrażenie przechodzi w \(\displaystyle{ U \subset \emptyset \wedge \forall x \in \emptyset ( x \in U \Rightarrow \exists r \in \mathbb{R} (r>0 \wedge B(x,r) \subset U))}\) i ponieważ tam jest założenie \(\displaystyle{ x \in \emptyset}\), które nie jest spełnione, więc z niego wynika w szczególności, że \(\displaystyle{ x \notin \emptyset}\) czyli \(\displaystyle{ B(x,r)}\) jest nazwą "kuli o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\)", który nie istnieje. A czym jest zbiór punktów odległych o mniej niż \(\displaystyle{ r}\) od "punktu, którego nie ma"? Czy on jest poprawnie zdefiniowany?

Ja się nie upieram, że drugi zapis jest lepszy, ale drugi zapis nie zawiera nazwy \(\displaystyle{ B(x,r)}\) kuli określonej przy pomocy \(\displaystyle{ x,r}\) jak w pierwszym zapisie \(\displaystyle{ B(x,r) \subset U}\), a jedynie predykat \(\displaystyle{ \forall y ( d(x,y)<r \Rightarrow y \in U )}\) w którym nazwa kuli nie występuje.

[a4karo]

A jest jakiś sens w rozpatrywaniu metryki na zbiorze pustym?

[Jan Kraszewski]

Raczej nie, ale foundofmath ma predylekcję do daleko posuniętej ścisłości formalnej, stąd zapewne ten wątek. Jeśli chodzi o mnie, to zgadzam się z Dasiem:

A rozwiązaniem według mnie najlepszym byłoby sformułowanie definicji słowami:

Podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) jest otwarty (w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, d)}\)), jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ r > 0}\), taka że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq U}\)

jest ona bowiem i precyzyjna, i nieobciążona żadną sztuczną wadą formalną.

JK

[Dasio11]

Zdajesz się źle rozumieć znaczenie napisu \(\displaystyle{ (\forall x \in \varnothing) \, \varphi(x)}\).

Gdy \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym zbiorem, znaczenie zdania \(\displaystyle{ (\forall x \in X) \, \varphi(x)}\) można widzieć tak: przypuśćmy, że mamy do dyspozycji komputer z nieograniczoną liczbą procesorów. Każdemu elementowi \(\displaystyle{ a \in X}\) przypisujemy procesor, który obliczy wartość \(\displaystyle{ \varphi(a)}\). Jeśli wśród wyników znajdzie się choć jeden negatywny, uznajemy powyższe zdanie za fałszywe, w przeciwnym zaś razie uznajemy, iż jest ono prawdziwe.

W szczególnym przypadku \(\displaystyle{ X = \varnothing}\) zdajesz się myśleć, że powinniśmy aktywować jeden procesor, podając mu jakiś nieistniejący element \(\displaystyle{ a}\), dla którego ma on obliczyć \(\displaystyle{ \varphi(a)}\) - co oczywiście spowoduje w procesorze błąd, bo żadnego sensu nie ma \(\displaystyle{ \varphi(a)}\) dla nieistniejącego \(\displaystyle{ a}\). Ale z ogólnego schematu wynika coś innego: skoro zbiór pusty ma zero elementów, to aktywnych będzie zero procesorów, czyli żaden. W takim razie nie będzie istniał procesor, który musi obliczyć wartość jakiegoś bezsensownego zapisu \(\displaystyle{ \varphi(a)}\), więc obliczenie się powiedzie - i z uwagi na brak kontrprzykładów, wynik całościowy będzie automatycznie pozytywny.

Albo inaczej: dla zbioru trzyelementowego \(\displaystyle{ X = \{ a_1, a_2, a_3 \}}\) mamy równoważność

$$(\forall x \in X) \, \varphi(x) \equiv \varphi(a_1) \wedge \varphi(a_2) \wedge \varphi(a_3),$$
zdanie po lewej stronie ma więc sens, gdy mają go \(\displaystyle{ \varphi(a_1), \varphi(a_2)}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(a_3)}\).

Gdy \(\displaystyle{ X = \{ a_1, a_2 \}}\) ma dwa elementy, wtedy

$$(\forall x \in X) \, \varphi(x) \equiv \varphi(a_1) \wedge \varphi(a_2),$$
co ma sens gdy określone są \(\displaystyle{ \varphi(a_1)}\) i \(\displaystyle{ \varphi(a_2)}\).

Gdy zaś \(\displaystyle{ X = \{ a_1 \}}\) jest jednoelementowy, to

$$(\forall x \in X) \, \varphi(x) \equiv \varphi(a_1)$$
i wystarczy, by określone było \(\displaystyle{ \varphi(a_1)}\).

Konsekwentnie: dla zbioru pustego \(\displaystyle{ X = \varnothing}\) mamy

$$(\forall x \in X) \, \varphi(x) \equiv \top,$$
gdzie \(\displaystyle{ \top}\) oznacza pustą koniunkcję, która zawsze ma sens i jest po prostu zdaniem prawdziwym. Nie jest natomiast prawdą, że w tym ostatnim przypadku

$$(\forall x \in X) \, \varphi(x) \equiv \varphi(a_?)$$
dla jakiegoś nieokreślonego lub nieistniejącego \(\displaystyle{ a_?}\).

[krl]

Może ja spróbuję pomóc. W podanym przykładzie mamy do czynienia (najogólniej rzecz biorąc) z językiem teorii mnogości, zaś podane formuły mają znaczenie odczytywane w kontekście teorii mnogości. Zatem zapis \(\displaystyle{ B(x,r)}\) nie jest tu zastosowaniem symbolu funkcyjnego \(\displaystyle{ B}\) do argumentów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ r}\) (który to zastosowanie nie miałoby sensu gdy \(\displaystyle{ x\not\in X}\) lub \(\displaystyle{ r\not\in\mathbb{R}}\)), lecz ma znaczenie w sensie teorii mnogości.
Dokładniej, gdy \(\displaystyle{ f:A\to C}\) jest funkcją (w sensie teorii mnogości), to zapis \(\displaystyle{ f(a)}\) ma sens tylko gdy \(\displaystyle{ a\in A}\).
Dla wygody jednak używa się tego zapisu w formułach pod warunkiem, że przy ewaluacji danej formuły (tzn. odczytaniu jej znaczenia) wystarczy odwoływać się do przypadków, w których zapis \(\displaystyle{ f(a)}\) ma sens.
Inny sposób podejścia jest taki, że zapisy typu \(\displaystyle{ f(x)=y}\) czy \(\displaystyle{ f(x)\in Z}\) rozumiemy jako skróty (rozwikłując definicję funkcji jako relacji), tzn. jako:
\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle\in f}\) oraz \(\displaystyle{ \exists y(\langle x,y\rangle\in f\land y\in Z)}\) czy też \(\displaystyle{ \forall y(\langle x,y\rangle\in f\rightarrow y\in Z)}\).
W zapisach tego typu nie ma już problemów z nieokreślonością wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\).