Formuła kwantyfikatorowa

[iksinski]

Takie zadanie znalazłem w zbiorze. Zamień formułę kwantyfikatorową, tak by zawierała tylko znak ∈ zmienne i kwantyfikatory.

\(\displaystyle{ \bigvee x(0 \in x \wedge \bigwedge y( y \in x \Rightarrow ( y \cup \{ y \} ) \in x)) }\)

Zamieniłem na coś takiego:

\(\displaystyle{ \bigvee x [\bigvee y ((y \in x)∧\bigwedge z \neg (z \in y))∧\bigwedge y((y \in x) \Rightarrow \bigwedge u (u \in y \vee u=y))]}\)

Czy poprawnie?

[Dasio11]

Ten fragment źle:

\(\displaystyle{ \Rightarrow ( y \cup \{ y \} ) \in x }\)

Zamieniłem na coś takiego:

\(\displaystyle{ \Rightarrow \bigwedge u (u \in y \vee u=y)}\)

[iksinski]

Ten fragment źle:
\(\displaystyle{ \Rightarrow ( y \cup \{ y \} ) \in x }\)

A teraz?
\(\displaystyle{ \Rightarrow \bigvee z (z \in x \wedge \bigwedge u ( u \in z \wedge (u \in y \vee u=y))}\)

[Dasio11]

A teraz?
\(\displaystyle{ \Rightarrow \bigvee z (z \in x \wedge \bigwedge u ( u \in z \textcolor{red}{\wedge} (u \in y \vee u=y))}\)

Byłoby dobrze z \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) zamiast \(\displaystyle{ \textcolor{red}{\wedge}}\).

[iksinski]

Dzięki za pomoc. Pracuję nad semantyką.

Dodano po 2 godzinach 41 minutach 47 sekundach:
Ja to zdanie odczytuję tak:
Istnieje co najmniej jeden zbiór, który zawiera zbiór pusty i dla dowolnych dwóch różnych jego elementów jeden zawiera się w drugim.

Czy to poprawne?

[Dasio11]

Zamiast "zawiera zbiór pusty" bezpieczniej mówić "którego elementem jest zbiór pusty", bo w przeciwnym razie można to zinterpretować "którego podzbiorem jest zbiór pusty". Co do drugiej części, to co piszesz wyglądałoby tak:

\(\displaystyle{ \bigvee x \left[ \ldots \wedge \bigwedge y \bigwedge z \left( y \in x \wedge z \in x \Rightarrow \bigwedge t (t \in y \Rightarrow t \in z) \vee \bigwedge t (t \in z \Rightarrow t \in y) \right) \right]}\).

Natomiast oryginalny zapis łatwiej odczytać, gdy dla elementu \(\displaystyle{ y}\) nazwie się \(\displaystyle{ y \cup \{ y \}}\) jego następnikiem, wtedy oznacza on "\(\displaystyle{ x}\) jest zamknięty na operację następnika".

[iksinski]

A teraz jest poprawnie?
Istnieje co najmniej jeden zbiór, którego elementem jest zbiór pusty i dla dowolnych dwóch różnych jego elementów jeden jest elementem drugiego i oba razem wzięte stanowią element tego zbioru.

[Dasio11]

Nie. Który fragment miałby oznaczać "dla dowolnych dwóch różnych elementów jeden jest elementem drugiego", a który "oba razem wzięte stanowią element zbioru" (cokolwiek w ogóle znaczy "oba razem wzięte")?

[iksinski]

\(\displaystyle{ (...)\bigwedge y( y \in x \Rightarrow ( y \cup \{ y \} ) \in x)) }\)

Jedno jest elementem drugiego a nawias wskazuje jeszcze, że oba należą do x, to znaczy oba należą do zbioru który należy do x. Mnie się wydaje, że to jest jednak poprawne. To generuje zbiór nieskończony od zera.

[Dasio11]

Jedno jest elementem drugiego

Co jest elementem czego?

a nawias wskazuje jeszcze, że oba należą do x

Który nawias wskazuje, że co jest elementem \(\displaystyle{ x}\)?

[iksinski]

\(\displaystyle{ ( y \cup \{ y \} )}\)

O ten nawias mi chodzi ( ). Wybieram dwa różne elementy ze zbioru x. Jeden z nich ma tę własność że zawiera się w drugim. Potem z obu tworzę nowy zbiór. I ten zbiór tworzy nowy element zbioru x. Biorę go z jakimś dowolnym pozostałym elementem i tak w kółko aż wygeneruje się zbiór nieskończony.

Czyli tak ten fragment będzie brzmiał:
dla dowolnych dwóch różnych elementów zbioru x jeden jest elementem drugiego i oba tworzą zbiór, który należy do x. Te dwa różne elementy to: \(\displaystyle{ y , \{ y \} }\)

[Dasio11]

dla dowolnych dwóch różnych elementów zbioru x jeden jest elementem drugiego i oba tworzą zbiór, który należy do x. Te dwa różne elementy to: \(\displaystyle{ y , \{ y \} }\)

Przecież z tego co piszesz wprost wynika, że to nie są dwa dowolne (różne) elementy zbioru \(\displaystyle{ x}\), tylko jeden dowolny element \(\displaystyle{ y}\) zbioru \(\displaystyle{ x}\) i drugi konkretny zbiór \(\displaystyle{ \{ y \}}\), który sam niekoniecznie jest elementem \(\displaystyle{ x}\). A dalej - stwierdzenie, że oba "tworzą" zbiór, który należy do \(\displaystyle{ x}\), jest nieprecyzyjne (bo równie dobrze mogłoby chodzić na przykład o \(\displaystyle{ \{ y, \{ y \} \}}\)), ale nie jest niepoprawne.

Można nawet wskazać kontrprzykład: dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) zdefiniujmy przez indukcję operacje \(\displaystyle{ S^n(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), tak że

\(\displaystyle{ \begin{cases} S^0(A) = A \\ S^{n+1}(A) = S^n(A) \cup \{ S^n(A) \} \end{cases}}\)

Wtedy zbiór \(\displaystyle{ x = \{ S^n(\varnothing) : n \in \NN \} \cup \{ S^n( \QQ \times \QQ ) : n \in \NN \}}\) spełnia zapisane przez Ciebie symbolicznie zdanie, ale nie spełnia

dla dowolnych dwóch różnych elementów zbioru x jeden jest elementem drugiego i oba tworzą zbiór, który należy do x.

Dla dwóch różnych elementów \(\displaystyle{ \{ \varnothing \}}\) i \(\displaystyle{ \QQ \times \QQ}\) zbioru \(\displaystyle{ x}\), ani żaden z nich nie jest elementem drugiego, ani też w żaden sensowny sposób nie tworzą one zbioru, który należy do \(\displaystyle{ x}\).

[iksinski]

To może to zapisać tak:
Istnieje zbiór pusty i dla każdego zbioru należącego do x istnieje co najmniej jeden zbiór złożony ze zbioru i jego singletonu, który należy do x. Teraz poprawnie?

[Dasio11]

Istnieje zbiór pusty

Pominąłeś fragment mówiący, że zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ x}\).

i dla każdego zbioru należącego do x istnieje co najmniej jeden zbiór złożony ze zbioru i jego singletonu, który należy do x.

W analogii do naturalnego stwierdzenia: zbiór \(\displaystyle{ \{ 1, 3 \}}\) jest złożony z jedynki i trójki - uznałbym, że "zbiór złożony ze zbioru [ozn. \(\displaystyle{ y}\)] i jego singletonu" oznacza zbiór \(\displaystyle{ \{ y, \{ y \} \}}\), a nie \(\displaystyle{ y \cup \{ y \}}\).


Teraz już zdajesz się rozumieć sens całości omawianego zapisu symbolicznego, a problem jest tylko ze ścisłym opisem zbioru \(\displaystyle{ y \cup \{ y \}}\) bez używania symboli. Ale na Twoim miejscu bym to odpuścił, bo akurat w tym wypadku zapis symboliczny jest po prostu lepszy, bo bardziej zwięzły a jednocześnie zrozumiały i precyzyjny.

[iksinski]

Mała poprawka.
Istnieje zbiór pusty należący do x i dla każdego zbioru należącego do x istnieje co najmniej jeden zbiór złożony ze zbioru lub jego singletonu, który należy do x.
Teraz chyba dobrze. Chcę jakoś to sklecić po polsku.