Mamy zbiór częściowo uporządkowany \(\displaystyle{ \langle X, \leq \rangle}\) oraz \(\displaystyle{ a \in X }\) i \(\displaystyle{ A, B \subseteq X }\). Zadanie polega na zapisaniu symbolicznie poniższych zdań, nie używając symbolów mocy, równoliczności i \(\displaystyle{ \exists !}\).
Element największy w \(\displaystyle{ A}\) jest elementem najmniejszym w \(\displaystyle{ B}\).
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma dokładnie dwa ograniczenia dolne.
a jest jedynym elementem maksymalnym w \(\displaystyle{ X}\).
Elementy maksymalne zbioru \(\displaystyle{ A}\) tworzą antyłańcuch \(\displaystyle{ X}\).
Poniżej są moje rozwiązania. Proszę o weryfikację poprawności. Jeśli są błędy proszę o napisanie, jak być powinno.
\(\displaystyle{ ( \exists M \in A \cap B ) ((\forall x \in A) (M \geq x) \wedge (\forall y \in B) (M \leq y))}\)
\(\displaystyle{ ( \exists a, b \in X ) ( a \neq b \wedge (\forall c \in A) (a \leq c \wedge b \leq c) \wedge \neg(\exists d \in X)(d \neq a \wedge d \neq b \wedge (\forall v \in A)( d \leq v))) }\)
\(\displaystyle{ (\forall x \in X) ( a \leq x \implies a = x ) \wedge \neg (\exists b \in X ) ( a \neq b \wedge ( \forall z \in X ) (b \leq z \implies b = z )) }\)
\(\displaystyle{ ( \forall x, y, \in X ) ( \forall g \in A ) (((x \leq g \implies x = g ) \wedge (y \leq g \implies y = g ) ) \implies (x \neq y \implies \neg (x \leq y \vee y \leq x ) ) ) }\)
Pokrzykiwacz pisze: ↑31 sty 2020, o 07:17\(\displaystyle{ ( \exists M \in A \cap B ) ((\forall x \in A) (M \geq x) \wedge (\forall y \in B) (M \leq y))}\) \(\displaystyle{ ( \exists a, b \in X ) ( a \neq b \wedge (\forall c \in A) (a \leq c \wedge b \leq c) \wedge \neg(\exists d \in X)(d \neq a \wedge d \neq b \wedge (\forall v \in A)( d \leq v))) }\) \(\displaystyle{ (\forall x \in X) ( a \leq x \implies a = x ) \wedge \neg (\exists b \in X ) ( a \neq b \wedge ( \forall z \in X ) (b \leq z \implies b = z )) }\)
Dobrze.
Pokrzykiwacz pisze: ↑31 sty 2020, o 07:17\(\displaystyle{ ( \forall x, y, \in X ) ( \forall g \in A ) \red{(}((x \leq g \implies x = g ) \wedge (y \leq g \implies y = g ) ) \implies (x \neq y \implies \neg (x \leq y \vee y \leq x ) ) ) }\)
Tutaj lekko przesunął Ci się nawias (co z formalnego punktu widzenia jest ważne). Powinno być
\(\displaystyle{ ( \forall x, y, \in X ) \red{(}( \forall g \in A )((x \leq g \implies x = g ) \wedge (y \leq g \implies y = g ) ) \implies (x \neq y \implies \neg (x \leq y \vee y \leq x ) ) ) }\)
