Reguły wnioskowania a tautologie

[Specjalista]

Mam pewien problem ze zrozumieniem reguł wnioskowania. Czemu dana reguła musi być tautologią, skoro przy wnioskowaniu czegokolwiek zakładamy, że każda przesłanka jest prawdziwa, więc poprzednik "głównej" implikacji jest zawsze prawdziwy, jak i również prawdziwy musi być następnik. Mógłby ktoś wyjaśnić tą kwestię?

[Jan Kraszewski]

A mógłbyś jakoś to skonkretyzować? Bo na razie nie bardzo rozumiem, co masz na myśli.

JK

[Specjalista]

Chodzi mi o to, że wnioskując przyjmujemy prawdziwość każdej z przesłanek. Mamy wtedy: \(\displaystyle{ A_{1} \wedge A_{2}\wedge A_{n} \Rightarrow B}\)
Skoro każda przesłanka jest prawdziwa to poprzednik implikacji ma wartość logiczną równą 1 - prawda, więc prawdziwy musi być też wniosek (B). Czemu więc reguła wnioskowania musi być tautologią?

[Specjalista]

Może wytłumaczę trochę lepiej o co mi tak naprawdę chodzi:
Jeśli coś chcemy wywnioskować to przyjmujemy tylko prawdziwe przesłanki, czyli ich wartość logiczna jest równa 1

Według strony Romana Mazura - Logika u podstaw:

O dedukcyjności przeprowadzonego wnioskowania można się przekonać, ustalając, ze schemat zbudowany na podstawie przesłanek i wniosku, jest tautologią

Na podstawie tego pan Roman rozpatruje wszystkie możliwe przypadki, nawet gdy przesłanki nie są prawdą.

Natomiast według książki H. i W. Matuszewskich - Elementy logiki i teorii mnogości nie musimy rozpatrywać czy dane schematy są tautologiami. Skoro zakładamy, że przesłanki są prawdziwe to rozpatrujemy tylko takie wartościowanie, gdzie przesłanki są prawdziwe. Wychodzi z tego, że reguła wnioskowania nie musi być tautologią. Jak to w końcu z tym jest?

[zdl]

Jestem osobą o raczej skromnej wiedzy, ale spróbuję napisać jak ja to rozumiem, a być może Ci pomoże.

Udowadniając twierdzenie w formie \(\displaystyle{ A \Rightarrow B}\) musimy pokazać, że jest ono prawdziwe, a co za tym idzie musimy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest prawdziwe to \(\displaystyle{ B}\) również jest prawdziwe. Dlaczego tylko to? Bo to jedyny przypadek w którym implikacja mogłaby nie być prawdziwa, bo z kolei w innych przypadkach implikacja jest prawdziwa co wynika bezpośrednio z definicji implikacji.

Nie wiem np. co u Ciebie znaczy, że reguła wnioskowania musi być tautologią. Tautologia to dla mnie zdania logiczne zawsze prawdziwe.

Myślę też, że zdanie \(\displaystyle{ A \Rightarrow B}\) będzie tautologią jeśli udowodnimy, że poprzednik będzie prawdziwy, a następnik w tym wypadku nie będzie mógł być fałszywy. Wtedy nasze zdanie będzie więc zawsze prawdziwe, co oznacza, że mamy do czynienia z tautologią.

Na podstawie tego pan Roman rozpatruje wszystkie możliwe przypadki, nawet gdy przesłanki nie są prawdą.

Ciężko odnieść się do tego bez precyzyjniejszego kontekstu.

Natomiast według książki H. i W. Matuszewskich - Elementy logiki i teorii mnogości nie musimy rozpatrywać czy dane schematy są tautologiami. Skoro zakładamy, że przesłanki są prawdziwe to rozpatrujemy tylko takie wartościowanie, gdzie przesłanki są prawdziwe. Wychodzi z tego, że reguła wnioskowania nie musi być tautologią. Jak to w końcu z tym jest?

Raczej powiedziałbym, że owszem chcemy pokazać tautologię, ale żeby to zrobić wystarczy pokazać, że w przypadku prawdziwości poprzednika, następnik jest również prawdziwy, bo w innych sytuacjach prawdziwość zdania wynika bezpośrednio z definicji implikacji.

[Specjalista]

W tautologii liczy się tylko to by całe zdanie było prawdziwe, bez względu na wartość zmiennych zdaniowych.
We wnioskowaniu natomiast przyjmujemy z góry prawdziwość przesłanek (po co wnioskować cokolwiek z fałszu). Dlatego wystarczy sprawdzić prawdziwość zdania dla takiego wartościowania, gdzie zmienne zdaniowe dają prawdziwe przesłanki.

W takim razie w ogólnym przypadku reguła wnioskowania nie musi być tautologią? Ma ktoś pomysł na regułę wnioskowania, która nie jest tautologią?

[Jan Kraszewski]

Tautologia to dla mnie zdania logiczne zawsze prawdziwe.

To potoczne i nieprawdziwe rozumienie pojęcia tautologii. Tautologia to nie zdanie, tylko schemat zdaniowy (formuła rachunku zdań), który dla dowolnego wartościowania zmiennych zdaniowych jest wartościowany na prawdę. Zdanie logiczne nie może być tautologią, ale może mieć strukturę tautologii.

No a mówienie, że "zdanie logiczne jest zawsze prawdziwe" też nie ma sensu, bo każde zdanie logiczne po prostu jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

W takim razie w ogólnym przypadku reguła wnioskowania nie musi być tautologią? Ma ktoś pomysł na regułę wnioskowania, która nie jest tautologią?

Poprawna reguła wnioskowania (czyli taka, która zakładając prawdziwe przesłanki prowadzi do prawdziwych wniosków) ma strukturę tautologii.

Natomiast według książki H. i W. Matuszewskich - Elementy logiki i teorii mnogości nie musimy rozpatrywać czy dane schematy są tautologiami. Skoro zakładamy, że przesłanki są prawdziwe to rozpatrujemy tylko takie wartościowanie, gdzie przesłanki są prawdziwe. Wychodzi z tego, że reguła wnioskowania nie musi być tautologią.

Nie wychodzi. Przecież to, że nie musimy rozpatrywać, czy są tautologiami (w sensie rozpatrywania wszystkich wartościowań) nie oznacza, że nimi nie są.

JK

[zdl]

@Jan Kraszewski: A co znaczy, że zdanie ma strukturę tautologii? Zdanie mające strukturę tautologii to zdanie, które jest prawdziwe, a jego prawdziwość wynika z samej struktury schematu zdaniowego, a nie z wartości składowych tego zdania, tak? A więc zdanie \(\displaystyle{ a}\) nie ma struktury tautologii, natomiast \(\displaystyle{ a \vee \neg a }\) ma.

[Jan Kraszewski]

@Jan Kraszewski: A co znaczy, że zdanie ma strukturę tautologii? Zdanie mające strukturę tautologii to zdanie, które jest prawdziwe, a jego prawdziwość wynika z samej struktury schematu zdaniowego, a nie z wartości składowych tego zdania, tak?[/latex]

Mniej więcej, ale dalej mylisz zdanie ze schematem zdaniowym.

A więc zdanie \(\displaystyle{ a}\) nie ma struktury tautologii, natomiast \(\displaystyle{ a \vee \neg a }\) ma.

Nie.

Schemat zdaniowy \(\displaystyle{ a}\) nie ma struktury tautologii, natomiast schemat zdaniowy \(\displaystyle{ a \vee \neg a }\) ma. Zdanie \(\displaystyle{ 3< 7}\) nie ma struktury tautologii (ale jest prawdziwe), natomiast zdanie \(\displaystyle{ 3< 7\lor \neg 3<7}\) ma strukturę tautologii (i nie musimy wiedzieć nic o liczbach ani relacji \(\displaystyle{ <}\) by stwierdzić, że jest prawdziwe).

Różnica między zdaniem a schematem zdaniowym jest mniej więcej taka, jak pomiędzy liczbą a wyrażeniem algebraicznym.

JK

[Specjalista]

Dziękuję za odpowiedzi, chyba już rozumiem. Skoro przyjmując przesłanki jako prawdziwe, wniosek musi być prawdziwy i skoro z fałszu można cokolwiek wywnioskować i będzie to prawda, to reguła wnioskowania musi być z automatu tautologią (opcja 1->0 jest niemożliwa).

A jaka jest niepoprawna reguła wnioskowania? Taka, w której przynajmniej dla jednego przypadku wartościowania, dla prawdziwych przesłanek da nieprawdziwy wniosek?

[Jan Kraszewski]

A jaka jest niepoprawna reguła wnioskowania?

Np. taka:

\(\displaystyle{ \frac{p\lor q}{p} }\)

JK