Nieskończona klasa abstrakcji

[terefere123]

Czy relacja \(\displaystyle{ A \approx B \Leftrightarrow A \cup -A = B \cup -B}\)
(\(\displaystyle{ -A = \left\{ -x : x \in A\right\} }\))
ma nieskończoną klasę abstrakcji?

\(\displaystyle{ \left[ \left\{ 1, 2\right\} \right]_ \approx = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ -1, 2\right\}, \left\{ 1, -2\right\}, \left\{ \left\{ -1, -2\right\} \right\} \right\} }\)

Ta klasa ma \(\displaystyle{ 2^2 = 4}\) elementów. Zauważyłem, że dla zbiorów nie mających \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ |\left[ A\right]_ \approx | = 2^{|A|} }\).
No i teraz jest moje pytanie, czy jeśli weźmiemy za \(\displaystyle{ A = \mathbb{N}}\) to czy taka klasa abstrakcji będzie nieskończona?

[Dasio11]

Nie napisałeś, na jakim zbiorze określona jest ta relacja.

[terefere123]

Nie napisałeś, na jakim zbiorze określona jest ta relacja.

Przepraszam, zapomniałem o tym.
Relacja jest na \(\displaystyle{ P(\mathbb{Z})}\)

[a4karo]

Zabawne, że w tej relacji nie ma przeliczalnych klas abstrakcji

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left[ \left\{ 1, 2\right\} \right]_ \approx = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ -1, 2\right\}, \left\{ 1, -2\right\}, \left\{ \left\{ -1, -2\right\} \right\} \right\} }\)

Ta klasa ma \(\displaystyle{ 2^2 = 4}\) elementów. Zauważyłem, że dla zbiorów nie mających \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ |\left[ A\right]_ \approx | = 2^{|A|} }\).

Nawet pomijając nadmiarową parę nawiasów klamrowych, klasa abstrakcji jest źle wyznaczona, bo na przykład \(\displaystyle{ \{ -1, 1, 2 \} \approx \{ 1, 2 \}}\). Z podobnego powodu Twoja obserwacja jest nieprawdziwa.

No i teraz jest moje pytanie, czy jeśli weźmiemy za \(\displaystyle{ A = \mathbb{N}}\) to czy taka klasa abstrakcji będzie nieskończona?

Tak.

[Janusz Tracz]

Jeśli weźmiesz \(\displaystyle{ A}\) takie, że \(\displaystyle{ -A \cup A=\ZZ}\) to każdy zbiór postaci (dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)) \(\displaystyle{ B=\NN \cup \left\{ -n,-n+1,...,-1,0\right\} }\) będzie w relacji z \(\displaystyle{ A}\) wszak \(\displaystyle{ -B \cup B=\ZZ}\)

[terefere123]

Faktycznie, nie zwróciłem uwagi na przypadki gdzie elementy różnią się nie tylko znakiem a też liczbą.
\(\displaystyle{ \left[ \left\{ 0, 1\right\} \right]_ \approx = \left\{ \left\{ 0, 1\right\}, \left\{ -1, 0\right\}, \left\{ -1, 0, 1\right\} \right\} }\)
A czy to jest dobrze wyznaczone?

[Dasio11]

Tak.