Oceń czy zdanie jest prawdziwe

[lollapalooza109]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu, czy poniższe zdanie jest prawdziwe:

\(\displaystyle{ \exists{y\in \RR}\ \forall{x∈A:2^x<y}}\)

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

To nie jest zdanie, tylko funkcja zdaniowa o zmiennej wolnej \(A\), więc nie da się ocenić prawdziwości tego wyrażenia.

JK

[lollapalooza109]

Dokładna treść polecenia brzmi:
"Czy prawdą jest że:
\(\displaystyle{ \exists{y\in \RR}\ \forall{x∈A:2^x<y}}\)"

Mam rozumieć, że nie da się tego określić?

[a4karo]

To zależy czym jest \(A\)

[Jan Kraszewski]

Dokładna treść polecenia brzmi:
"Czy prawdą jest że:
\(\displaystyle{ \exists{y\in \RR}\ \forall{x∈A:2^x<y}}\)"

Mam rozumieć, że nie da się tego określić?

Nie da się, ale podejrzewam, że wcześniej mogło zostać podane, czym jest \(\displaystyle{ A}\).

Skąd to zadanie?

JK

[lollapalooza109]

W innym zadaniu mam obliczyć zbiór \(\displaystyle{ A}\):

\(\displaystyle{ A=\left\{ x\in\RR:\arctg \frac{x}{\left| x-1\right| } < \arccos\frac{ \sqrt{2} }{2}\right\} }\)

z tego obliczyłem że:
\(\displaystyle{ x< \frac{1}{2} }\))

Zatem jaka będzie odpowiedź dla tego przedziału?
Mam również pytanie czy odpowiedź zmieni się jeśli wziąłbym pod uwagę że zamiast zbioru \(\displaystyle{ A}\) rozważane jest \(\displaystyle{ x \in\RR }\)?

[Jan Kraszewski]

No tak to jest, jak podaje się część treści...

A jak myślisz, czy prawdą jest że

\(\displaystyle{ \exists y\in \RR\ \forall x\in\left( -\infty,\dfrac12\right) \ 2^x<y\ ?}\)

Tu trzeba wykazać się podstawową znajomością (wykresu) funkcji wykładniczej.

JK

[lollapalooza109]

Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ x< \frac{1}{2} }\) będzie to prawda,
natomiast dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) będzie fałsz.
Mam rację?
Ale czy można to jakoś uzasadnić?

[Jan Kraszewski]

Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ x< \frac{1}{2} }\) będzie to prawda,
natomiast dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) będzie fałsz.
Mam rację?

Tak.

Ale czy można to jakoś uzasadnić?

Można. Zastanów się jak.

JK

[lollapalooza109]

dla \(\displaystyle{ x< \frac{1}{2} }\) istnieje takie y, które będzie większe od \(\displaystyle{ 2^{x} }\), np.\(\displaystyle{ y=2 }\) ,
dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty }\) więc będzie takie \(\displaystyle{ 2^{x} }\) które będzie większe od \(\displaystyle{ y }\)?

[Jan Kraszewski]

dla \(\displaystyle{ x< \frac{1}{2} }\) istnieje takie y, które będzie większe od \(\displaystyle{ 2^{x} }\), np.\(\displaystyle{ y=2 }\)

OK (choć krótki argument, czemu takie \(\displaystyle{ y}\) jest dobre byłby mile widziany).

dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty }\) więc będzie takie \(\displaystyle{ 2^{x} }\) które będzie większe od \(\displaystyle{ y }\)?

Zapewne widzisz to właściwie, ale zapisałeś to bardzo niestarannie. Postaraj się użyć zdań w języku polskim.

JK

[lollapalooza109]

dla \(\displaystyle{ x< \frac{1}{2} }\) istnieje takie y, które będzie większe od \(\displaystyle{ 2^{x} }\), np.\(\displaystyle{ y=2 }\)

OK (choć krótki argument, czemu takie \(\displaystyle{ y}\) jest dobre byłby mile widziany).

Jak mógłbym uzasadnić, że takie \(\displaystyle{ y}\) jest dobre?

dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty }\) więc będzie takie \(\displaystyle{ 2^{x} }\) które będzie większe od \(\displaystyle{ y }\)?

Zapewne widzisz to właściwie, ale zapisałeś to bardzo niestarannie. Postaraj się użyć zdań w języku polskim.

Chodzi mi o to, że \(\displaystyle{ 2^{x} }\) jest nieograniczone z góry więc nie można będzie określić takiego y dla którego dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) będzie zawsze większe od \(\displaystyle{ 2^{x} }\). Jednak tutaj również nie potrafię tego szerzej uzasadnić.

[Jan Kraszewski]

Jak mógłbym uzasadnić, że takie \(\displaystyle{ y}\) jest dobre?

Np. skorzystać z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2^x}\) jest rosnąca.

Chodzi mi o to, że \(\displaystyle{ 2^{x} }\) jest nieograniczone z góry więc nie można będzie określić takiego y dla którego dla \(\displaystyle{ x\in\RR }\) będzie zawsze większe od \(\displaystyle{ 2^{x} }\). Jednak tutaj również nie potrafię tego szerzej uzasadnić.

Argument polega właśnie na tym, co napisałeś. Ale trzeba go porządnie sformułować, korzystając np. z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to+\infty }2^x=+\infty. }\)

JK

[lollapalooza109]

Dziękuję za pomoc!

Pozdrawiam