Zapisz za pomocą znaków logicznych

[terefere123]

1. Zapisz za pomocą znaków logicznych i \(\displaystyle{ \in }\) formule \(\displaystyle{ X = (a, b)}\)
2. Zapisz za pomocą znaków logicznych, nawiasów i \(\displaystyle{ \in }\) formule \(\displaystyle{ X = P(Y)}\)

Ad. 1
Wiem, że def. pary uporządkowanej mówi, że \(\displaystyle{ X=(a, b) = \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} }\)
Korzystam z aksjomatu ekstensjonalności.
\(\displaystyle{ (\forall a)(a \in X \Leftrightarrow a \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} )}\)
I tyle?

Ad. 2
W tym zadaniu też korzystam tylko z definicji:
\(\displaystyle{ X=P(Y)}\) (aksjomat ekstensjonalności)
\(\displaystyle{ (\forall A)(A \in X \Leftrightarrow A \in P(Y))}\) (definicja zbioru potęgowego)
\(\displaystyle{ (\forall A)(A \in X \Leftrightarrow A \subseteq Y)}\) (definicja inkluzji)
\(\displaystyle{ (\forall A)(A \in X \Leftrightarrow (\forall a)( a \in A \Rightarrow a \in Y))}\)

Nie mam pojęcia, czy zrobiłem te zadania na temat. Proszę o sprawdzenie.

[Jan Kraszewski]

Ad. 1
Wiem, że def. pary uporządkowanej mówi, że \(\displaystyle{ X=(a, b) = \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} }\)
Korzystam z aksjomatu ekstensjonalności.
\(\displaystyle{ (\forall a)(a \in X \Leftrightarrow a \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} )}\)
I tyle?

A to jest para uporządkowana czy przedział otwarty?

Jeżeli para uporządkowana, to zapis jest zły z jednego podstawowego powodu: używasz zmiennej \(\displaystyle{ a}\) w dwóch zupełnie różnych znaczeniach - jako zmiennej związanej i jako zmiennej wolnej. Pozostaje jeszcze kwestia, czy wolno Ci użyć nawiasów klamrowych.

Ad. 2
W tym zadaniu też korzystam tylko z definicji:
\(\displaystyle{ X=P(Y)}\) (aksjomat ekstensjonalności)
\(\displaystyle{ (\forall A)(A \in X \Leftrightarrow A \in P(Y))}\) (definicja zbioru potęgowego)
\(\displaystyle{ (\forall A)(A \in X \Leftrightarrow A \subseteq Y)}\) (definicja inkluzji)
\(\displaystyle{ (\forall A)(A \in X \Leftrightarrow (\forall a)( a \in A \Rightarrow a \in Y))}\)

Dobrze.

JK

[terefere123]

Przepraszam, znowu mi się literki pomieszały. Chciałem żeby to tak wyglądało:

\(\displaystyle{ (\forall z)(z \in X \Leftrightarrow z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} )}\)

A to jest para uporządkowana czy przedział otwarty?

Chodzi mi o parę uporządkowaną ale jestem ciekaw jakby to wyglądało dla przedziału otwartego.

Pozostaje jeszcze kwestia, czy wolno Ci użyć nawiasów klamrowych.

Gdybym mógł to by było dobrze? Gdybym nie mógł to muszę się jeszcze chwile zastanowić.

[Jan Kraszewski]

Byłoby dobrze.

JK

[terefere123]

Mam pewien pomysł na pozbycie się klamer. Choć nie wiem czy poprawny.

\(\displaystyle{ (\forall z)(z \in X \Leftrightarrow z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} )}\)

Żeby było czytelniej zacznę rozpisywać tylko \(\displaystyle{ z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} }\)

\(\displaystyle{ z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} \Leftrightarrow z = \left\{ a\right\} \vee z = \left\{ a, b\right\} }\)
Znowu aksjomat ekstensjonalności.
\(\displaystyle{ p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} \vee (\forall p)(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a, b\right\} )}\)
\(\displaystyle{ (p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (p \in z \Leftrightarrow (p \in \left\{ a\right\} \vee p \in \left\{ b\right\} )) }\)

I tu też rozpiszę tylko \(\displaystyle{ p \in \left\{ a\right\}}\):
\(\displaystyle{ p \in \left\{ a\right\} \Leftrightarrow p=a}\)
I tutaj mam już tylko elementy. Mogę użyć aksjomatu ekstensjonalności?
\(\displaystyle{ w \in p \Leftrightarrow w \in a}\)
Jakby to się połączyło w całość to bym nie miał klamer, ale czy ta ostatnia linijka jest poprawna?

[Jan Kraszewski]

Żeby było czytelniej zacznę rozpisywać tylko \(\displaystyle{ z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} }\)

\(\displaystyle{ z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} \Leftrightarrow z = \left\{ a\right\} \vee z = \left\{ a, b\right\} }\)

To dobry pomysł.

Znowu aksjomat ekstensjonalności.
\(\displaystyle{ p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} \vee (\forall p)(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a, b\right\} )}\)
\(\displaystyle{ (p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (p \in z \Leftrightarrow (p \in \left\{ a\right\} \vee p \in \left\{ b\right\} )) }\)

A tu wszystko Ci się rozjechało.

JK

[terefere123]

Wszystko wydaje mi się że robię analogicznie. Nie mogę znaleźć co mi się rozjechało
Czy to ma jakiś związek z kwantyfikatorem którego się pozbyłem pomiędzy tymi linijkami?

[Jan Kraszewski]

Pogubiłeś wiele kwantyfikatorów.

JK

[terefere123]

\(\displaystyle{ z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} \Leftrightarrow z = \left\{ a\right\} \vee z = \left\{ a, b\right\} }\)
Znowu aksjomat ekstensjonalności.
\(\displaystyle{ (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (\forall p)(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a, b\right\} )}\)
\(\displaystyle{ (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow (p \in \left\{ a\right\} \vee p \in \left\{ b\right\} )) }\)

I tu rozpiszę tylko \(\displaystyle{ p \in \left\{ a\right\}}\):
\(\displaystyle{ p \in \left\{ a\right\} \Leftrightarrow p=a}\)
I tutaj mam już tylko elementy. Mogę użyć aksjomatu ekstensjonalności?
\(\displaystyle{ (\forall w )(w \in p \Leftrightarrow w \in a)}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ z \in \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a, b\right\}\right\} \Leftrightarrow z = \left\{ a\right\} \vee z = \left\{ a, b\right\} }\)
Znowu aksjomat ekstensjonalności.
\(\displaystyle{ (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (\forall p)(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a, b\right\} )}\)
\(\displaystyle{ (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow (p \in \left\{ a\right\} \vee p \in \left\{ b\right\} )) }\)

I tu rozpiszę tylko \(\displaystyle{ p \in \left\{ a\right\}}\):
\(\displaystyle{ p \in \left\{ a\right\} \Leftrightarrow p=a}\)
I tutaj mam już tylko elementy. Mogę użyć aksjomatu ekstensjonalności?
\(\displaystyle{ (\forall w )(w \in p \Leftrightarrow w \in a)}\)

Prościej wykorzystać tę obserwację:

\(\displaystyle{ (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow (p \in \left\{ a\right\} \vee p \in \left\{ b\right\} )) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p = a ) \vee (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow (p = a \vee p=b )).}\)

JK

[terefere123]

\(\displaystyle{ (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p \in \left\{ a\right\} ) \vee (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow (p \in \left\{ a\right\} \vee p \in \left\{ b\right\} )) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow p = a ) \vee (\forall p )(p \in z \Leftrightarrow (p = a \vee p=b )).}\)

Tutaj nadal jest niedozwolony znak \(\displaystyle{ =}\). Jak go teraz usunąć?

[Jan Kraszewski]

Tutaj nadal jest niedozwolony znak \(\displaystyle{ =}\). Jak go teraz usunąć?

Ja bym uznał równość za znak logiczny. Poza tym i tak masz nawiasy, bez których ciężko zapisać tę formułę w poprawny sposób.

JK