Napisz zaprzeczenia i sprawdź wartość logiczną

[Karolka87]

Witajcie! Mam parę zadań z logiki, których nie potrafię rozwiązać, chciałabym mieć na czym się wzorować ucząc się kolejnych przykładów dlatego prosiłabym o ich rozwiązanie. Poniżej 1 przykład, który zrobiłam

1. \(\displaystyle{ \sqrt{2} > 1,4 \vee \left| \sqrt{2} \right| - \left| \sqrt{3} \right|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \le 1,4 \wedge \left| \sqrt{4} - \sqrt{3} \right| \neq \sqrt{3} - \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \le 1,4 \wedge - \sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{3} - \sqrt{2}}\)
czyli tu wychodzi nam 1 (prawda bo pierwiastek z 2 jest mniejszy niż 1,4) i po drugiej stronie fałsz czyli całe zdanie jest fałszywe (bo tu jest implikacja)

Czy tak się zaprzecza zdaniom? Mam straszny problem, bo o ile mniej więcej umiem to zrobić na samych literach, to nie do końca wiem jak to działa przy liczbach. Czy zaprzeczeniem jest tylko zmiana mniejsze/większe na mniejsze bądź równe/większe bądź równe czy dodatkowo gdzieś dokładam minus? Jeżeli jest jakaś zasada to bardzo proszę o pomoc.


2. \(\displaystyle{ \pi \le 3 \Rightarrow - \sqrt{} 16 = -4}\)
\(\displaystyle{ \pi >3 \Leftrightarrow - \sqrt{16} \neq -4}\) - np. tutaj zaprzeczenie dałam, że jest różne, a nie równa się - wobec tego nic z minusami nie robię, prawda?
czyli tutaj lewa strona jest prawdziwa a prawa fałszywa, czyli całe zdanie jest fałszywe

Ostatnich dwóch nie mam rozwiązanych nie, nie za bardzo wiem przede wszystkim czy dobrze robię te powyższe - więc nie wiem czy na razie idę w dobrą stronę, dajcie proszę znać i jeśli jest szansa na rozwiązanie tego z kwantyfikatorem z dodatkowym opisem? Dzięki!

3. \(\displaystyle{ 0 ( \pi - 4) \neq 0 \wedge 2|1018]}\)

4. \(\displaystyle{ \forall x\in\QQ (x ^{2} >1 \Rightarrow x>1)}\)

Będę bardzo wdzięczna za pomoc. Dodatkowe komentarze będą niesamowice pomocne, ew. linki to stron, którę mają przykłady jak wyżej, bardziej złożone, bo niestety nie znalazłam.

Dodano po 2 minutach 16 sekundach:
Nie wiem też co do pierwszego przykłady czy tak się zaprzecza alternatywie? Może zmieniająć na impikację powinnam zaprzeczyć tylko jednemu zdaniu tj. zmienić ten znak na mniejszy bądź równy, natomiast po drugiej stronie pozostawić równa się (a nie jest różne?). Strasznie wydaje mi się to pogmatwane, ale jestem wiele lat po maturze i na razie nawet ułamki muszę sobie przypominać, także przyjmuję do wiadomości, że może jest to proste dla niektórych.

[Jan Kraszewski]

1. \(\displaystyle{ \sqrt{2} > 1,4 \vee \left| \sqrt{2} \right| - \left| \sqrt{3} \right|}\)

Coś tu jest nie halo, chyba nie przepisałaś całego przykładu.

2. \(\displaystyle{ \pi \le 3 \Rightarrow - \sqrt{} 16 = -4}\)
\(\displaystyle{ \pi >3 \Leftrightarrow - \sqrt{16} \neq -4}\)

A skąd Ty wzięłaś to zaprzeczenie? Widziałaś kiedykolwiek prawo negacji implikacji?

3. \(\displaystyle{ 0 ( \pi - 4) \neq 0 \wedge 2|1018]}\)

A co to jest \(\displaystyle{ 0 ( \pi - 4)}\)? I dlaczego masz z tym problem? Negacja koniunkcji - prawo de Morgana.

4. \(\displaystyle{ \forall x\in\QQ (x ^{2} >1 \Rightarrow x>1)}\)

Negacja kwantyfikatora ogólnego + negacja implikacji.

Nie wiem też co do pierwszego przykłady czy tak się zaprzecza alternatywie?

Jak masz wątpliwości, to znajdź stosowne prawo rachunku zdań (w tym wypadku - prawo de Morgana).

JK

[Karolka87]

Zgadza się, 1 zadanie wygląda:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} > 1,4 \vee \left| \sqrt{2}- \sqrt{3} \right| = \sqrt{3} - \sqrt{2} }\)

I czy w takim razie 1 zadanie ok? Sprawdziłam I prawo de Morgana i wydaje mi się, że dobrze zrobiłam, niemniej ocena kogoś bardziej zaznajomionego z tą dziedziną wiedzy byłaby... mile widziana, żeby nie powiedzieć niezbędna, skoro nie potrafię stwierdzić na 100% czy to jest dobrze.

A w drugim przypadku:
\(\displaystyle{ \pi \le 3 \Rightarrow - \sqrt{16} = -4}\)
\(\displaystyle{ \pi \le 3 \wedge - \sqrt{16} \neq -4}\)

??? Czy teraz ma to większy sens? Nie widziałam zaprzeczenia negacji implikacji, ale na podstawie tego co wygooglowałam napisałam jak wyżej... Lepiej?

[Jan Kraszewski]

Zgadza się, 1 zadanie wygląda:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} > 1,4 \vee \left| \sqrt{2}- \sqrt{3} \right| = \sqrt{3} - \sqrt{2} }\)

I czy w takim razie 1 zadanie ok? Sprawdziłam I prawo de Morgana i wydaje mi się, że dobrze zrobiłam, niemniej ocena kogoś bardziej zaznajomionego z tą dziedziną wiedzy byłaby... mile widziana, żeby nie powiedzieć niezbędna, skoro nie potrafię stwierdzić na 100% czy to jest dobrze.

Poza tym, że w jednym miejscu pomyliłaś dwójkę z czwórką, to zanegowałaś dobrze. Po zanegowaniu istotnie otrzymujemy zdanie fałszywe (bo przed zanegowaniem było prawdziwe...), ale nie dlatego, że "bo tu jest implikacja" (bo żadnej implikacji nie ma) oraz nie dlatego, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1,4}\) (bo jest większy). Zatem argumentacja raczej nietrafiona.

A w drugim przypadku:
\(\displaystyle{ \pi \le 3 \Rightarrow - \sqrt{16} = -4}\)
\(\displaystyle{ \pi \le 3 \wedge - \sqrt{16} \neq -4}\)

??? Czy teraz ma to większy sens? Nie widziałam zaprzeczenia negacji implikacji, ale na podstawie tego co wygooglowałam napisałam jak wyżej... Lepiej?

Przesadzasz z tym "zaprzeczeniem negacji implikacji" - albo "zaprzeczenie implikacji", albo "negacja implikacji". Zanegowane poprawnie, pozostaje ocena prawdziwości.

JK

[Karolka87]

Ok, prawda. Rzeczywiście parę literówek, implikacja zamiast koniunkcji i źle obliczony pierwiastek.

Co do trzeciego przykładu z liczbą pi... nie wiem o co pytasz czym jest ten nawias z 0, założyłam, że po prostu to co w nawiasie mnoże przez 0 i wychodzi 0 i tyle z tą stroną. Natomiast mam z drugą stroną kłopot, bo raz, ze nie do końca znam ten znak... | - dla mnie to zawsze była wartość bezwględna, tu ostatnia coś usłyszałam na zajęciach, że to nie ,,podzielne przez", ale że 1018 dzieli się przez 2? I w każdym razie nie wiem jak fizycznie zapisać zaprzeczenie zdania. W postacio mówionej powiedziałabym, że 1018 nie dzieli się przez 2, ale, że tam jest ten znak to nie wiem jak ma to wyglądać. Czy mógłbyś mi powiedzieć co to jest dokładnie?

Bardzo Ci dziękuję za pomoc, niesamowicie mi pomogłeś i myślę, że z resztą przykładów już dam sobie radę, choć w razie ew. wątpliwości prześlę za dzień lub dwa parę rozwiązanych przeze mnie zadać do sprawdzenia, jeśli będziesz miał jeszcze czas

[Jan Kraszewski]

Co do trzeciego przykładu z liczbą pi... nie wiem o co pytasz czym jest ten nawias z 0, założyłam, że po prostu to co w nawiasie mnoże przez 0 i wychodzi 0 i tyle z tą stroną. [/latex]

Jeśli to ma być mnożenie, to niezbędny jest symbol mnożenia \(\displaystyle{ \cdot}\) \cdot, bo inaczej wygląda to dwuznacznie.

Natomiast mam z drugą stroną kłopot, bo raz, ze nie do końca znam ten znak... | - dla mnie to zawsze była wartość bezwględna, tu ostatnia coś usłyszałam na zajęciach, że to nie ,,podzielne przez", ale że 1018 dzieli się przez 2?

To jest symbol podzielności. Mówimy, że liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\) dzieli liczbę całkowitą \(\displaystyle{ n}\) (równoważnie: liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna - lub dzieli się - przez liczbę \(\displaystyle{ k}\)) i piszemy \(\displaystyle{ k\mid n}\) jeśli istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ m}\) taka, że \(\displaystyle{ n=m\cdot k.}\) Tutaj zatem chodzi o to, że liczba \(\displaystyle{ 1018}\) dzieli się przez liczbę \(\displaystyle{ 2}\) (innymi słowy: liczba \(\displaystyle{ 1018}\) jest parzysta).

I w każdym razie nie wiem jak fizycznie zapisać zaprzeczenie zdania. W postacio mówionej powiedziałabym, że 1018 nie dzieli się przez 2, ale, że tam jest ten znak to nie wiem jak ma to wyglądać.

Możesz użyć \(\displaystyle{ \nmid}\) \nmid, czyli \(\displaystyle{ 2\nmid 1018}\), ale mogłoby też być \(\displaystyle{ \neg 2\mid 1018}\).

JK

[Karolka87]

Super, nie było mi znane to określenie ,,z tej strony" . Dziękuję.

Edit: czemu dwuznacznie (ten przykład z pi?) Co innego oprócz mnożenia tego pi przez nawias może oznaczać? Ja to pomnożyłam, nie wiem co innego miałabym z tym zrobić, tak ten przykład wygląda

Te dwa powyższe przykłady daję do sprawdzenia, kwantyfikatory to wciąż nowość, ale one chyba tutaj właściwie nic nie zmieniają? Trzeba zawsze zamienić kwantyfikator na przeciwny, a zaprzeczenia zdań normalnie jak dotychczas, dobrze mówię?

3. \(\displaystyle{ 0( \pi -4) \neq 0 \wedge 2|1018}\)
\(\displaystyle{ 0( \pi -4)=0 \vee 2 \nmid 1018}\)
1 0 - czyli zdanie prawdziwe

4. \(\displaystyle{ ∀x\in\QQ(x ^{2} >1 \Rightarrow x >1)}\)
\(\displaystyle{ \exists x\in\QQ(x ^{2}>1 \wedge x \le 1) }\)
1 1 - zdanie prawdziwe

Jeszcze takie uściślenie. Bo mam zdania na początku. Piszę dla nich zaprzeczenie i sprawdzam wartość logiczną - ale właściwie zaprzeczenia. To jako wynik (wartość logiczna) zdania(tego głównego) będzie przeciwieństwo tego co mi wyszło? Skoro zaprzeczenie zdania wyszło mi fałszywe to zdanie jest prawdziwe? Czy właśnie jest ok i tak się właśnie sprawdza wartość logiczną głownego zdania, sprawdzając zaprzeczenie? Nie wiem czy piszę przejrzyście i czy wiadomo o co mi chodzi, jeśli powinnam to rozbudować daj proszę znać.

[Jan Kraszewski]

Edit: czemu dwuznacznie (ten przykład z pi?) Co innego oprócz mnożenia tego pi przez nawias może oznaczać? Ja to pomnożyłam, nie wiem co innego miałabym z tym zrobić, tak ten przykład wygląda

Zostawmy to - ustaliliśmy, że to mnożenie. Dla mnie to po prostu źle wygląda.

kwantyfikatory to wciąż nowość, ale one chyba tutaj właściwie nic nie zmieniają? Trzeba zawsze zamienić kwantyfikator na przeciwny, a zaprzeczenia zdań normalnie jak dotychczas, dobrze mówię?

W sensie techniki zaprzeczania - zgadza się. Natomiast kwantyfikator jest oczywiście istotny przy ocenie prawdziwości zdania.

3. \(\displaystyle{ 0( \pi -4) \neq 0 \wedge 2|1018}\)
\(\displaystyle{ 0( \pi -4)=0 \vee 2 \nmid 1018}\)
1 0 - czyli zdanie prawdziwe

OK.

4. \(\displaystyle{ ∀x\in\QQ(x ^{2} >1 \Rightarrow x >1)}\)
\(\displaystyle{ \exists x\in\QQ(x ^{2}>1 \wedge x \le 1) }\)
1 1 - zdanie prawdziwe

Zaprzeczenie - OK. Ocena prawdziwości też dobra, ale nie jestem pewny, czy na pewno wiesz, dlaczego to zdanie jest prawdziwe - komentarz pod spodem sugeruje, że nie.

Bo mam zdania na początku. Piszę dla nich zaprzeczenie i sprawdzam wartość logiczną - ale właściwie zaprzeczenia. To jako wynik (wartość logiczna) zdania(tego głównego) będzie przeciwieństwo tego co mi wyszło? Skoro zaprzeczenie zdania wyszło mi fałszywe to zdanie jest prawdziwe?

Tak.

Czy właśnie jest ok i tak się właśnie sprawdza wartość logiczną głownego zdania, sprawdzając zaprzeczenie?

Nie. To znaczy można tak robić, ale nie trzeba - prawdziwość zdania głównego można ocenić po prostu analizując to zdanie. To co robisz to raczej ćwiczenie formalne, żebyś nauczyła się zaprzeczać.

JK

[Karolka87]

Jeszcze odgrzeję kotleta, bo pojawiły się wątpliwości przy kwantyfikatorach.

\(\displaystyle{ \forall x\in \NN ( \sqrt{x}\geqslant 0 \vee x <0)}\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \mathbb{N}( \sqrt{x}<0 \wedge x \ge 0) }\)
Oceniam pierwsze zdanie jako fałszywe (0) a drugie zdanie jako prawdziwe (1). Pytanie tylko czy dobrze mówię, bo innej osobie wyszły dwa 0. Ja oceniam zdanie p i q jako osobne byty, czyli sprawdzam czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) mniejsza od 0? - sprawdzam, nie ma. Teraz idę osobno do drugiego zdania - czy istnieje taka liczba naturalna x większa bądź równa od 0? - sprawdzam, istnieje. I potem dopiero czytam zdanie jako koniunkcję, czyli 0 i 1 daje 0.

Natomiast ta druga osoba od razu sprawdza to jako koniunkcję, czyli, czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) mniejsza od 0 i która jednocześnie spełnia warunek, że \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ \ge 0}\). Wtedy tu wychodzi dwa razy 0 i zdanie fałszywe.

[Jan Kraszewski]

Pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie nie wiadomo, bo nie napisałaś kwantyfikatora.

JK

[Karolka87]

Poprawione.

[Jan Kraszewski]

Oceniam pierwsze zdanie jako fałszywe (0) a drugie zdanie jako prawdziwe (1).

Jest dokładnie odwrotnie.

bo innej osobie wyszły dwa 0.

To już w ogóle cud, skoro jedno zdanie jest zaprzeczeniem drugiego...

Ja oceniam zdanie p i q jako osobne byty, czyli sprawdzam czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) mniejsza od 0? - sprawdzam, nie ma. Teraz idę osobno do drugiego zdania - czy istnieje taka liczba naturalna x większa bądź równa od 0? - sprawdzam, istnieje. I potem dopiero czytam zdanie jako koniunkcję, czyli 0 i 1 daje 0.

I to jest Twój błąd. Tak byś robiła, gdyby to zdanie wyglądało tak: \(\displaystyle{ (\exists x\in \mathbb{N}) \sqrt{x}<0 \wedge (\exists x\in \mathbb{N})x \ge 0}\).

Natomiast ta druga osoba od razu sprawdza to jako koniunkcję, czyli, czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) mniejsza od 0 i która jednocześnie spełnia warunek, że \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ \ge 0}\). Wtedy tu wychodzi dwa razy 0 i zdanie fałszywe.

I to jest dobrze. Nie wiem tylko, jak jej wyszedł fałsz w pierwszym zdaniu...

JK