Wyznaczanie zdań w kwadracie logicznym.

[MichalProg]

Dzień dobry.

Mam zdanie: \(\displaystyle{ 2|n \Rightarrow 2|n^2}\)

Zdanie jest moim zdaniem prawdziwe. Ale czy prawdziwe będzie zdanie odwrotne? Zależy czy n jest naturalne, ew. całkowite. Ale zdanie przeciwne jest prawdziwe, co by wskazywało, że odwrotne też.

Odwrotne: \(\displaystyle{ 2|n^2 \Rightarrow 2|n}\)
Przeciwne: \(\displaystyle{ 2\not | n \Rightarrow 2\not | n^2}\)

No bo jeśli 2 nie jest dzielnikiem n, to też nie jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n^2}\)
Ale jeśli \(\displaystyle{ 2| \sqrt{2}^2}\) to nieprawda, że 2 dzieli \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\)

Jak to rozumieć. Oba zdania powinny mieć tą samą wartość, bo leżą na przekątnej kw. logicznego.

Dzięki
Michał

[Jan Kraszewski]

Mam zdanie: \(\displaystyle{ 2|n \Rightarrow 2|n^2}\)

Zdanie jest moim zdaniem prawdziwe.

No cóż, przede wszystkim formalnie rzecz biorąc to nie jest zdanie, tylko funkcja zdaniowa. By było to zdanie musiałbyś wcześniej zaznaczyć, że rozpatrujesz jakieś ustalone naturalne \(\displaystyle{ n}\). Przy tym założeniu jest to zdanie prawdziwe.

Ale czy prawdziwe będzie zdanie odwrotne?

Tak.

Zależy czy n jest naturalne, ew. całkowite.

To, jak Ci napisałem, trzeba zadeklarować wcześniej. Ale oczywiście tak jest, nie ma sensu rozpatrywać podzielności w innym kontekście.

Ale jeśli \(\displaystyle{ 2| \sqrt{2}^2}\) to nieprawda, że 2 dzieli \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\)

Podzielność jest relacją rozważaną w zbiorze liczb naturalnych bądź całkowitych, więc ten przykład nie ma sensu.

JK

[Janusz Tracz]

W tym zadaniu raczej chodzi o naturalne \(\displaystyle{ n}\). I by udowodnić wynikanie w drugą stronę można zauważyć iż kwadrat liczby naturalnej faktoryzuje się:

\(\displaystyle{ n^2=2^{2\alpha_1} \cdot p_2^{2\alpha_2} \cdot p_3^{2\alpha_3} \cdot ... \cdot p_k^{2\alpha_k}}\)

czyli

\(\displaystyle{ n=2 \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdot ... \cdot p_k^{\alpha_k}}\)

co dowodzi podzielności.