Cześć, oto zdanie "Jeżeli Wojtek zna Zosię i Zosia zna Wojtka, to z faktu, że Zosia nie zna Wojtka wynika, że Zosia zna Marcina."
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, jakim cudem to zdanie jest prawdziwe?
Oceń prawdziwość zdania
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Oceń prawdziwość zdania
Użycie słowa „fakt" jest tutaj w mojej opinii błędem, patrz znaczenie słowa „fakt" w Słowniku Języka Polskiego. Ale nie o moim puryzmie językowym tu mówimy, tylko o logice klasycznej.
Mamy coś takiego, co nazywa się prawem eliminacji implikacji:
\(\displaystyle{ (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow( \neg p \vee q)}\).
Oznaczmy teraz \(\displaystyle{ p}\) – Wojtek zna Zosię, \(\displaystyle{ q}\) – Zosia zna Wojtka, \(\displaystyle{ r}\) – Zosia zna Marcina. Zdanie z treści możemy wówczas zapisać tak:
\(\displaystyle{ (p\wedge q)\red{\Rightarrow}(\neg q\blue{\Rightarrow} r)}\)
Eliminujemy najpierw implikację zaznaczoną przeze mnie powyżej na czerwono:
\(\displaystyle{ \left[(p\wedge q)\Rightarrow(\neg q\Rightarrow r)\right]\Leftrightarrow [\neg (p\wedge q)\vee (\neg q \Rightarrow r)]}\)
Następnie eliminujemy implikację, którą powyżej zaznaczyłem na niebiesko i mamy:
\(\displaystyle{ [\neg (p\wedge q)\vee (\neg q \Rightarrow r)]\Leftrightarrow [\neg(p\wedge q)\vee(\neg(\neg q) \vee r)]}\)
Teraz korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ [\neg(\neg q)]\Leftrightarrow q}\) oraz (prawo negacji koniunkcji) \(\displaystyle{ \neg (p\wedge q)\Leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)}\):
\(\displaystyle{ [\neg(p\wedge q)\vee(\neg(\neg q) \vee r)]\Leftrightarrow [(\neg p \vee \neg q)\vee (q\vee r)]}\)
a z łączności alternatywy można to ostatnie zapisać w postaci (opuszczamy nawiasy)
\(\displaystyle{ \neg p \vee \neg q \vee q\vee r}\)
i ponownie z łączności alternatywy:
\(\displaystyle{ \neg p \vee (\neg q \vee q)\vee r}\)
Zdanie w nawiasie jest tautologią klasycznego rachunku zdań, a ponieważ \(\displaystyle{ a\Rightarrow (a\vee b)}\), więc zdanie
\(\displaystyle{ \neg p \vee (\neg q \vee q)\vee r}\) jest prawdziwe, a że jest ono równoważne wyjściowemu, co wykazałem, to zdanie
\(\displaystyle{ (p\wedge q)\red{\Rightarrow}(\neg q\blue{\Rightarrow} r)}\)
jest prawdziwe.
W dużym skrócie: prawo negacji implikacji i „z fałszu wynika wszystko".
Wydaje mi się, że Twoja konsternacja może wynikać z mylenia implikacji formalnej z implikacją materialną, ale nie dam sobie głowy uciąć.
NB czytelniej byłoby, gdybym skorzystał z tego, że \(\displaystyle{ (p\wedge q)\Rightarrow q}\)…
Mamy coś takiego, co nazywa się prawem eliminacji implikacji:
\(\displaystyle{ (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow( \neg p \vee q)}\).
Oznaczmy teraz \(\displaystyle{ p}\) – Wojtek zna Zosię, \(\displaystyle{ q}\) – Zosia zna Wojtka, \(\displaystyle{ r}\) – Zosia zna Marcina. Zdanie z treści możemy wówczas zapisać tak:
\(\displaystyle{ (p\wedge q)\red{\Rightarrow}(\neg q\blue{\Rightarrow} r)}\)
Eliminujemy najpierw implikację zaznaczoną przeze mnie powyżej na czerwono:
\(\displaystyle{ \left[(p\wedge q)\Rightarrow(\neg q\Rightarrow r)\right]\Leftrightarrow [\neg (p\wedge q)\vee (\neg q \Rightarrow r)]}\)
Następnie eliminujemy implikację, którą powyżej zaznaczyłem na niebiesko i mamy:
\(\displaystyle{ [\neg (p\wedge q)\vee (\neg q \Rightarrow r)]\Leftrightarrow [\neg(p\wedge q)\vee(\neg(\neg q) \vee r)]}\)
Teraz korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ [\neg(\neg q)]\Leftrightarrow q}\) oraz (prawo negacji koniunkcji) \(\displaystyle{ \neg (p\wedge q)\Leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)}\):
\(\displaystyle{ [\neg(p\wedge q)\vee(\neg(\neg q) \vee r)]\Leftrightarrow [(\neg p \vee \neg q)\vee (q\vee r)]}\)
a z łączności alternatywy można to ostatnie zapisać w postaci (opuszczamy nawiasy)
\(\displaystyle{ \neg p \vee \neg q \vee q\vee r}\)
i ponownie z łączności alternatywy:
\(\displaystyle{ \neg p \vee (\neg q \vee q)\vee r}\)
Zdanie w nawiasie jest tautologią klasycznego rachunku zdań, a ponieważ \(\displaystyle{ a\Rightarrow (a\vee b)}\), więc zdanie
\(\displaystyle{ \neg p \vee (\neg q \vee q)\vee r}\) jest prawdziwe, a że jest ono równoważne wyjściowemu, co wykazałem, to zdanie
\(\displaystyle{ (p\wedge q)\red{\Rightarrow}(\neg q\blue{\Rightarrow} r)}\)
jest prawdziwe.
W dużym skrócie: prawo negacji implikacji i „z fałszu wynika wszystko".
Wydaje mi się, że Twoja konsternacja może wynikać z mylenia implikacji formalnej z implikacją materialną, ale nie dam sobie głowy uciąć.
NB czytelniej byłoby, gdybym skorzystał z tego, że \(\displaystyle{ (p\wedge q)\Rightarrow q}\)…
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Re: Oceń prawdziwość zdania
To zdanie jest prawdziwe w sensie rachunku zdań. Stosując oznaczenia Premislava zdanie ma formę:
\(\displaystyle{ (p\land q)\Rightarrow(\neg q\Rightarrow r)}\)
To wyrażenie rachunku zdań (formuła rachunku zdań) jest tautologią, tzn. ma wartość logiczną \(\displaystyle{ 1}\)
dla dowolnych wartości logicznych zmiennych zdaniowych \(\displaystyle{ p,q,r}\). (Można to łatwo stwierdzić sprawdzając wszystkie \(\displaystyle{ 8}\)
przypadków).
Dlatego zdanie (*) jest prawdziwe (w sensie rachunku zdań).
Język potoczny jest nieprecyzyjny. Stąd w matematyce potrzeba uściślenia znaczenia zdań. Do tego celu służy m.in. rachunek zdań. Niestety, uściślenie to nie jest w pełni zgodne z potoczną intuicją (zwłaszcza w stosunku do spójnika implikacji, ale też i alternatywy), to prowadzi do wątpliwości.