Oceń prawdziwość zdania

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Darek554
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 kwie 2011, o 20:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wes

Oceń prawdziwość zdania

Post autor: Darek554 » 9 paź 2019, o 15:01

Cześć, oto zdanie "Jeżeli Wojtek zna Zosię i Zosia zna Wojtka, to z faktu, że Zosia nie zna Wojtka wynika, że Zosia zna Marcina."

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, jakim cudem to zdanie jest prawdziwe? :)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4657 razy

Re: Oceń prawdziwość zdania

Post autor: Premislav » 9 paź 2019, o 15:36

Użycie słowa „fakt" jest tutaj w mojej opinii błędem, patrz znaczenie słowa „fakt" w Słowniku Języka Polskiego. Ale nie o moim puryzmie językowym tu mówimy, tylko o logice klasycznej.

Mamy coś takiego, co nazywa się prawem eliminacji implikacji:
\(\displaystyle{ (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow( \neg p \vee q)}\).

Oznaczmy teraz \(\displaystyle{ p}\) – Wojtek zna Zosię, \(\displaystyle{ q}\) – Zosia zna Wojtka, \(\displaystyle{ r}\) – Zosia zna Marcina. Zdanie z treści możemy wówczas zapisać tak:
\(\displaystyle{ (p\wedge q)\red{\Rightarrow}(\neg q\blue{\Rightarrow} r)}\)
Eliminujemy najpierw implikację zaznaczoną przeze mnie powyżej na czerwono:
\(\displaystyle{ \left[(p\wedge q)\Rightarrow(\neg q\Rightarrow r)\right]\Leftrightarrow [\neg (p\wedge q)\vee (\neg q \Rightarrow r)]}\)
Następnie eliminujemy implikację, którą powyżej zaznaczyłem na niebiesko i mamy:
\(\displaystyle{ [\neg (p\wedge q)\vee (\neg q \Rightarrow r)]\Leftrightarrow [\neg(p\wedge q)\vee(\neg(\neg q) \vee r)]}\)
Teraz korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ [\neg(\neg q)]\Leftrightarrow q}\) oraz (prawo negacji koniunkcji) \(\displaystyle{ \neg (p\wedge q)\Leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)}\):
\(\displaystyle{ [\neg(p\wedge q)\vee(\neg(\neg q) \vee r)]\Leftrightarrow [(\neg p \vee \neg q)\vee (q\vee r)]}\)
a z łączności alternatywy można to ostatnie zapisać w postaci (opuszczamy nawiasy)
\(\displaystyle{ \neg p \vee \neg q \vee q\vee r}\)
i ponownie z łączności alternatywy:
\(\displaystyle{ \neg p \vee (\neg q \vee q)\vee r}\)
Zdanie w nawiasie jest tautologią klasycznego rachunku zdań, a ponieważ \(\displaystyle{ a\Rightarrow (a\vee b)}\), więc zdanie
\(\displaystyle{ \neg p \vee (\neg q \vee q)\vee r}\) jest prawdziwe, a że jest ono równoważne wyjściowemu, co wykazałem, to zdanie
\(\displaystyle{ (p\wedge q)\red{\Rightarrow}(\neg q\blue{\Rightarrow} r)}\)
jest prawdziwe.
W dużym skrócie: prawo negacji implikacji i „z fałszu wynika wszystko".

Wydaje mi się, że Twoja konsternacja może wynikać z mylenia implikacji formalnej z implikacją materialną, ale nie dam sobie głowy uciąć.
NB czytelniej byłoby, gdybym skorzystał z tego, że \(\displaystyle{ (p\wedge q)\Rightarrow q}\)

krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 446
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 89 razy

Re: Oceń prawdziwość zdania

Post autor: krl » 10 paź 2019, o 07:23

Darek554 pisze:
9 paź 2019, o 15:01
Cześć, oto zdanie (*) "Jeżeli Wojtek zna Zosię i Zosia zna Wojtka, to z faktu, że Zosia nie zna Wojtka wynika, że Zosia zna Marcina."

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, jakim cudem to zdanie jest prawdziwe? :)
To zdanie jest prawdziwe w sensie rachunku zdań. Stosując oznaczenia Premislava zdanie ma formę:
\(\displaystyle{ (p\land q)\Rightarrow(\neg q\Rightarrow r)}\)
To wyrażenie rachunku zdań (formuła rachunku zdań) jest tautologią, tzn. ma wartość logiczną \(\displaystyle{ 1}\)
dla dowolnych wartości logicznych zmiennych zdaniowych \(\displaystyle{ p,q,r}\). (Można to łatwo stwierdzić sprawdzając wszystkie \(\displaystyle{ 8}\)
przypadków).
Dlatego zdanie (*) jest prawdziwe (w sensie rachunku zdań).
Język potoczny jest nieprecyzyjny. Stąd w matematyce potrzeba uściślenia znaczenia zdań. Do tego celu służy m.in. rachunek zdań. Niestety, uściślenie to nie jest w pełni zgodne z potoczną intuicją (zwłaszcza w stosunku do spójnika implikacji, ale też i alternatywy), to prowadzi do wątpliwości.

Darek554
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 kwie 2011, o 20:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wes

Re: Oceń prawdziwość zdania

Post autor: Darek554 » 10 paź 2019, o 09:05

Dzięki za odpowiedzi :)

ODPOWIEDZ