Zaprzeczenia zdań i ich wartość logiczna

[Abbion]

Dostałem zdanie domowe i nie jestem pewien czy dobrze je wykonuje, czy mógłby ktoś sprawdzić i ewentualnie mnie poprawić.

Zad: Napisać zaprzeczenia następujących zdań, a następnie ocenić wartość logiczną zdań oraz ich zaprzeczeń.

a) \(\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{N} ( 9 \mid x \vee x \mid 9)}\)

1) I ja rozwiązałem to tak:

\(\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{N} \ ( 9 \mid x \vee x \mid 9) \iff \forall x \in \mathbb{N} \ \neg ( 9 \mid x \vee x \mid 9) \iff \forall x \in \mathbb{N} \ \neg (9 \mid x) \wedge \neg (x \mid 9)}\)

2) Wartość logiczna zdania \(\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{N} \ ( 9 \mid x \vee x \mid 9)}\):

Wartość zdania jest prawdziwa, gdyż dla \(\displaystyle{ (9 \mid x)}\) \(\displaystyle{ x}\)-em są wszystkie wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 9}\), a dla \(\displaystyle{ (x \mid 9)}\) \(\displaystyle{ x}\)-em mogą być liczby \(\displaystyle{ 1, 3, 9}\)

3) Wartość logiczna zdania \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{N} \ \neg (9 \mid x) \wedge \neg (x \mid 9)}\):

Wartość zdania jest fałszywa, gdyż wartości np \(\displaystyle{ x=3}\) wartość wyniesie \(\displaystyle{ (1) \wedge (0)}\) co jest fałszem

[Jan Kraszewski]

1) I ja rozwiązałem to tak:

\(\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{N} \ ( 9 \mid x \vee x \mid 9) \iff \forall x \in \mathbb{N} \ \neg ( 9 \mid x \vee x \mid 9) \iff \forall x \in \mathbb{N} \ \neg (9 \mid x) \wedge \neg (x \mid 9)}\)

Intencja dobra, ale napisałeś nieprawdę. Powinno być

\(\displaystyle{ \color{red}\neg\color{black}\exists x \in \mathbb{N} \ ( 9 \mid x \vee x \mid 9) \iff \forall x \in \mathbb{N} \ \neg ( 9 \mid x \vee x \mid 9) \iff \forall x \in \mathbb{N} \ \neg (9 \mid x) \wedge \neg (x \mid 9)}\)

2) Wartość logiczna zdania \(\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{N} \ ( 9 \mid x \vee x \mid 9)}\):

Wartość zdania jest prawdziwa, gdyż dla \(\displaystyle{ (9 \mid x)}\) \(\displaystyle{ x}\)-em są wszystkie wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 9}\), a dla \(\displaystyle{ (x \mid 9)}\) \(\displaystyle{ x}\)-em mogą być liczby \(\displaystyle{ 1, 3, 9}\)

Prawda, ale wystarczy wskazać jedno \(\displaystyle{ x}\), dla którego formuła \(\displaystyle{ 9 \mid x \vee x \mid 9}\) jest prawdziwa, np. \(\displaystyle{ x=1}\).

3) Wartość logiczna zdania \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{N} \ \neg (9 \mid x) \wedge \neg (x \mid 9)}\):

Wartość zdania jest fałszywa, gdyż wartości np \(\displaystyle{ x=3}\) wartość wyniesie \(\displaystyle{ (1) \wedge (0)}\) co jest fałszem

Skoro poprzednie jest prawdą, to jego negacja jest fałszem, nic więcej nie musisz mówić.

JK