Zastępowanie składowej zdania zdaniem nierówoważnym

[zdl]

Fragment przykładu z książki p. Jana Kraszewskiego.

Rozważmy następujące, niepoprawne rozumowanie:
Jeśli \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\), to \(\displaystyle{ x^2 + 4x + 4 = 4-x}\), więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\). Zatem liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x+2 = \sqrt{4-x}}\)
...
Fakt, że liczba rzeczywista \(\displaystyle{ a}\) jest rowiązaniem równiania \(\displaystyle{ x+2 = \sqrt{4-x}}\) możemy wyrazić następująco:
\(\displaystyle{ x=a \Rightarrow x+2 = \sqrt{4-x}}\).
Wobec tego, po wykorzystaniu tautologii \(\displaystyle{ (p \Rightarrow r) \wedge (q \Rightarrow r) \Rightarrow (p \vee q \Rightarrow r)}\) tezę naszego rozumowania możemy zapisać tak:
\(\displaystyle{ x = -5 \vee x = 0 \Rightarrow x + 2 = \sqrt{4-x}}\).

Co by się stało, gdybym tezę przestawił bez wykorzystywania wspomnianej wyżej tautologii? Moje zdanie oraz zdanie, którego niepoprawność pokazuje p. JK nie byłyby równoważne (bo nie mogę sobie od tak podmieniać składowych zdania jeżeli nie są one równoważne).

Może jeszcze inaczej. Celem przykładu jest zapisanie zdania w formie słownej za pomocą wyrażeń logicznych i pokazanie jego niepoprawności. Dlaczego zdanie po zastosowaniu wspomnianej już tautologii miałoby lepiej odwzorowywać pierwotne zdanie? Tym bardziej, że zdania przed wykorzystaniem tautologii i po nie są równoważne, dlatego nie jestem przekonany czy można to tak robić.

Mam nadzieję, że zbytnio nie namieszałem i moje pytanie zostanie zrozumiane .

[Jan Kraszewski]

Co by się stało, gdybym tezę przestawił bez wykorzystywania wspomnianej wyżej tautologii? Moje zdanie oraz zdanie, którego niepoprawność pokazuje p. JK nie byłyby równoważne (bo nie mogę sobie od tak podmieniać składowych zdania jeżeli nie są one równoważne).

Hmm... Nie bardzo rozumiem, co chcesz zrobić.

Może jeszcze inaczej. Celem przykładu jest zapisanie zdania w formie słownej za pomocą wyrażeń logicznych i pokazanie jego niepoprawności.

Czy ja wiem? Raczej nie.
To nie jest mój ulubiony przykład, ale chodziło mi o pokazanie analizy pewnego rozumowania od strony logicznej, co miało uświadomić Czytelnikowi, że tak naprawdę co rusz się z tą logiką spotyka. W tym wypadku jest to rozumowanie, który w oczywisty sposób jest niepoprawne, ale niekoniecznie wiemy dlaczego.

Dlaczego zdanie po zastosowaniu wspomnianej już tautologii miałoby lepiej odwzorowywać pierwotne zdanie? Tym bardziej, że zdania przed wykorzystaniem tautologii i po nie są równoważne, dlatego nie jestem przekonany czy można to tak robić.

Piszesz na tyle niekonkretnie, że niestety nie wiem, co masz na myśli.

JK

[zdl]

Twierdzę, że teza w tym przykładzie to
\(\displaystyle{ (x = -5 \Rightarrow x+2 = \sqrt{4-x}) \wedge (x = 0 \Rightarrow x+2 = \sqrt{4-x})}\).

Pan sobie tę "moją" tezę zamienił za pomocą tautologii. Dlaczego?

[Jan Kraszewski]

Bo w tej "zamienionej" wersji lepiej mogę zilustrować to, co chcę.

Natomiast niepotrzebnie się martwisz. Tautologia, którą wykorzystałem, to tak naprawdę równoważność

\(\displaystyle{ (p \Rightarrow r) \wedge (q \Rightarrow r) \Leftrightarrow (p \vee q \Rightarrow r).}\)

Zgadzam się, że w książce też powinna ona być w tej wersji - jutro dodam to do erraty.

JK

[zdl]

Tautologia, którą wykorzystałem, to tak naprawdę równoważność

Byłem przekonany, że nie (nie wiem czemu) i stąd moje zamieszanie. Teraz udowodniłem sobie, że faktycznie jest tam wynikanie w obie strony . Dziękuję.