Czy taki zapis jest poprawny? (suma)

[Bran]

Spotkałem się kilkukrotnie z krytyką tego typu zapisów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1,}\)
jako nieskończonej sumy jedynek.

Analogicznie na przykład, gdy ustalimy jakąś liczbę, na przykład \(\displaystyle{ k}\), to zapisalibyśmy tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{k-1}{k} = \frac{k-1}{k} + \frac{k-1}{k} + \dots}\)

Czy takie zapisy są poprawne? Jeżeli nie, to czy można je jakoś "naprawić"? Na przykład:

Zamiast \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1}\), to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1^n.}\)
Podobnie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{k-1}{k} \cdot 1^n.}\) Czy tak jest lepiej?

[Premislav]

Nie jest lepiej, tylko sztuczniej. Skoro spotkałeś się z krytyką takich zapisów, to rozumiem, że do tej krytyki było dołączone jakieś uzasadnienie W takim razie świetnie byłoby, gdybyś je pokrótce przywołał.

[Jan Kraszewski]

Spotkałem się kilkukrotnie z krytyką tego typu zapisów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1,}\)
jako nieskończonej sumy jedynek.

No cóż, nie ma czegoś takiego jak "nieskończona suma jedynek", więc w tym konkretnym przypadku nie dziwię się krytyce. Nie potrafię wymyślić żadnego kontekstu, który uzasadniałby użycie takiego zapisu.

JK

[Bran]

Premislav, było, ale jej nie pamiętam, co jest spowodowane tym, że jej do końca nie zrozumiałem.

No cóż, nie ma czegoś takiego jak "nieskończona suma jedynek"

Przepraszam, ale nie bardzo rozumiem dlaczego. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu stale równego \(\displaystyle{ 1}\) jest czymś aż tak kontrowersyjnym?

Nie potrafię wymyślić żadnego kontekstu, który uzasadniałby użycie takiego zapisu.

Odnośnie poprawności zapisu właśnie pytam, nie wiem jaki jest poprawny i dlaczego bardziej zasadny od jednego z dwóch przedstawionych przeze mnie (stąd moje pytanie, gdybym to wiedział lub umiał znaleźć w internecie, to bym nie pytał).

Natomiast gdzie jest to wykorzystywane?
Na przykład w dowodzie Bernoulliego rozbieżności szeregu harmonicznego (D. Wisniewski, Wokół liczb i szeregów harmonicznych, str. 102)

Rozumiem (i domyślam się, że może chodzić o to), że mogę źle używać jakiegoś słowa, na przykład "suma", ale właśnie chciałbym wiedzieć jak mówić i pisać, żeby było poprawnie.
W przedszkolu uczyli: Jak nie wiesz, to pytaj.

[Jan Kraszewski]

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu stale równego \(\displaystyle{ 1}\) jest czymś aż tak kontrowersyjnym?

To jest coś, czego nie ma.

Odnośnie poprawności zapisu właśnie pytam, nie wiem jaki jest poprawny i dlaczego bardziej zasadny od jednego z dwóch przedstawionych przeze mnie (stąd moje pytanie, gdybym to wiedział lub umiał znaleźć w internecie, to bym nie pytał).

Rozumiem (i domyślam się, że może chodzić o to), że mogę źle używać jakiegoś słowa, na przykład "suma", ale właśnie chciałbym wiedzieć jak mówić i pisać, żeby było poprawnie.

Symbol sumy szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n}\) jest symbolem powszechnie używanym i formalnie można go wykorzystać także w sytuacji, gdy \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem stałym. Tyle, że dla mnie w tym konkretnym przypadku nie ma to sensu, bo wiemy (poza przypadkiem \(\displaystyle{ a_n=0}\)), że obiekt opisany w ten sposób nie istnieje.

Zauważ, że z definicji \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }1=\lim_{n\to\infty}n}\), a ta granica nie istnieje. Dlatego uważam, że symbol ten niczemu nie służy. Ale oczywiście możesz wskazać konkretne rozumowanie, które wg Ciebie przeczy mojemu twierdzeniu.

JK

[a4karo]

W teorii szeregów \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) jest symbolem oznaczającym szereg, którego kolejne wyrazy są równe \(\displaystyle{ a_n}\).

Ten symbol nie ma żadnej wartości liczbowej.
Jeżeli jednak zdefiniujemy sumę tego szeregu jako \(\displaystyle{ S=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n}\) i jeżeli ta granica istnieje, to oznaczamy ją takim samym symbolem co szereg.

"Użytkownik" szeregów powinien zdawać sobie sprawę z tej subtelności.


Bardzo często używamy symboli, które formalnie nie mają sensu i nie wywołuje to żadnych problemów.
Przykład: zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n>1}\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)}}\).

Rozwiązanie zapisujemy tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n>1}\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)}>\sum_{n>1}\frac{1}{n}=\infty}\),
choć żadne z tych wyrażeń nie ma formalnego sensu. Niech żyje zdrowy rozsądek.

[Jan Kraszewski]

Bardzo często używamy symboli, które formalnie nie mają sensu i nie wywołuje to żadnych problemów.

Zgadza się. Ale o ile symbol \(\displaystyle{ \sum_{n>1}\frac{1}{n}}\) nie budzi moich oporów, to symbol \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }1}\) jednak takowe budzi, mimo tego, że można dla niego znaleźć formalne wytłumaczenie:

W teorii szeregów \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) jest symbolem oznaczającym szereg, którego kolejne wyrazy są równe \(\displaystyle{ a_n}\).

Ten symbol nie ma żadnej wartości liczbowej.

A to dlatego, że nie potrafię znaleźć żadnego sensownego wytłumaczenia użycia tego symbolu - zgodnie z opisaną powyżej interpretacją symbol \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }1}\) oznacza bowiem ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ b_n=n}\).

Natomiast moja uwaga dotycząca nieistnienia dotyczyła "sumy wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu stale równego \(\displaystyle{ 1}\)", czyli zdecydowanie tej drugiej interpretacji rozpatrywanego symbolu.

JK

[a4karo]

A to dlatego, że nie potrafię znaleźć żadnego sensownego wytłumaczenia użycia tego symbolu

A na przykład iloczyn Cauchy'ego szeregów \(\displaystyle{ \sum b_n\sum 1}\) ?

[Bran]

Czy dobrze zrozumiałem, że po prostu zapis \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) jest poprawny tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny?

Czyli na przykład jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0,}\) to zapis \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) nie ma sensu?

[Jan Kraszewski]

Czy dobrze zrozumiałem, że po prostu zapis \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) jest poprawny tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny?

Czyli na przykład jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0,}\) to zapis \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) nie ma sensu?

Nie. Przeczytaj jeszcze raz:

W teorii szeregów \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) jest symbolem oznaczającym szereg, którego kolejne wyrazy są równe \(\displaystyle{ a_n}\).

Ten symbol nie ma żadnej wartości liczbowej.
Jeżeli jednak zdefiniujemy sumę tego szeregu jako \(\displaystyle{ S=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n}\) i jeżeli ta granica istnieje, to oznaczamy ją takim samym symbolem co szereg.

"Użytkownik" szeregów powinien zdawać sobie sprawę z tej subtelności.

JK

[Bran]

Ten symbol nie ma żadnej wartości liczbowej.

Więc chodzi o to, że nie można do niego nic przyrównać?

[Jan Kraszewski]

Chodzi o to, że nie możesz nim operować jak liczbą - w tym kontekście ten symbol oznacza szereg (czyli ciąg sum częściowych), a nie sumę tego szeregu (czyli granicę tego ciągu), bo takowa może nie istnieć.

JK

[Bran]

Jan Kraszewski, ale istnieje, choć jest niewłaściwa - nie rozumiem gdzie jest tutaj kontrowersja.

[a4karo]

Granica ciągu jest liczbą.

Granica niewłaściwa nie jest liczbą. O tym często zapominamy powiedzieć studentom i stąd takie wątpliwości..

[Jan Kraszewski]

Granica niewłaściwa nie jest bytem, to tylko wygodny sposób mówienia o rozbieżności ciągu do nieskończoności. I w tym sensie granica niewłaściwa "nie istnieje", tak samo jak "nie istnieje" nieskończoność potencjalna.

JK