rozbicie koniunkcji względem alternatywy, rózne sposoby

[furyy]

\(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\)
jak zastosować prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy powyższych zdań?
są na to jakieś (inne) sposoby? i czy to prawo ma (rozdzieczości koniunkcji względem alternatywy) jakieś odbicie w działaniach na zbiorach?

-- 10 cze 2019, o 21:01 --

[Janusz Tracz]

jak zastosować prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy powyższych zdań?

masz kilka możliwości możesz traktować na przykład \(\displaystyle{ \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\) jak jedną całość i rozbić to względem \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right)}\) ale można równie dobrze wybrać inną kombinację zdań.

czy to prawo ma (rozdzielności koniunkcji względem alternatywy) jakieś odbicie w działaniach na zbiorach?

Tak. \(\displaystyle{ A \cap \left( B \cup C\right) =\left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right)}\)

Porównując pokazać na dwa sposoby wychodząc od lewej i od prawej, że te zbiory są identyczne i są równe zakreskowanej części:

1.jpg (31.16 KiB) Przejrzano 57 razy

[Jan Kraszewski]

jak zastosować prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy powyższych zdań?

masz kilka możliwości możesz traktować na przykład \(\displaystyle{ \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\) jak jedną całość i rozbić to względem \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right)}\) ale można równie dobrze wybrać inną kombinację zdań.

Najszybciej będzie zacząć od \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\) (bo dostaniemy alternatywę trzech, a nie czterech bloków), ale i tak jest sporo dłubania.

JK

[furyy]

a jakby ten wzór wyglądał specjalnie dla tego przykładu? nie rozumiem tego, ze tutaj mam koniunkcję trzech alternatyw a we wzorze \(\displaystyle{ \left( p \wedge \left( q \vee r\right) \right)}\)

[Jan Kraszewski]

Bo formalnie robisz to krok po kroku. Np. żeby przekształcić \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\) musisz zastosować to prawo trzykrotnie:

\(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \blue{\left( t \vee \neg p\right)} \Leftrightarrow \left( p \wedge \blue{\left( t \vee \neg p\right)}\right)\vee \left( q \wedge \blue{\left( t \vee \neg p\right)}\right) \Leftrightarrow ...}\)

JK

[furyy]

\(\displaystyle{ \left( p \wedge t\right) \vee \left( p \wedge \neg p\right) \vee \left( q \wedge t\right) \vee \left( q \wedge \neg p\right)}\)-- 11 cze 2019, o 19:51 --to już mamy 4 alternatywy, w zadaniu jest że jak się rozbije całe zdanie \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\)
to ma powstać alternatywa 8 zdań, wsród których jedno jest prawdziwe

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \left( p \wedge t\right) \vee \left( p \wedge \neg p\right) \vee \left( q \wedge t\right) \vee \left( q \wedge \neg p\right)}\)

to już mamy 4 alternatywy,

Jak się dobrze przyjrzysz, to zobaczysz, że mamy trzy człony alternatywy.

w zadaniu jest że jak się rozbije całe zdanie \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\)
to ma powstać alternatywa 8 zdań,

Tak naprawdę sześciu zdań.

wsród których jedno jest prawdziwe

Wtedy musisz wrócić do znaczenia zdań \(\displaystyle{ p,q,r,s,t}\) i stwierdzić, które z członów alternatywy są na pewno fałszywe. Jeżeli okaże się, że wszystkie poza jednym, to ponieważ całość jest prawdziwa, więc ten jedyny człon, o którym nie możemy stwierdzić, że jest fałszywy będzie musiał być prawdziwy.

JK

[furyy]

\(\displaystyle{ \big ((p \vee q)\wedge (r\vee s)\big) \wedge (t\vee \neg p) \iff \left( p \wedge r \wedge t \right) \vee \left(p \wedge r \wedge \neg p \right) \vee \left( p \wedge s \wedge t \right) \vee \left( p \wedge s \wedge \neg p \right) \vee \left( q \wedge r \wedge t \right) \vee \left( q \wedge r \wedge \neg p \right) \vee \left( q \wedge s \wedge t \right) \vee \left( q \wedge s \wedge \neg p \right)}\)
znalazlem to na forum, tutaj wychodzi 8 zdan, a tak w ogóle to ten zapis wyżej jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \big ((p \vee q)\wedge (r\vee s)\big) \wedge (t\vee \neg p) \iff \left( p \wedge r \wedge t \right) \vee \red{\left(p \wedge r \wedge \neg p \right)} \vee \left( p \wedge s \wedge t \right) \vee \red{\left( p \wedge s \wedge \neg p \right)} \vee \left( q \wedge r \wedge t \right) \vee \left( q \wedge r \wedge \neg p \right) \vee \left( q \wedge s \wedge t \right) \vee \left( q \wedge s \wedge \neg p \right)}\)

Poprawny, ale jak się te znaczki rozumie, to wcześniej powinno się zauważyć, że \(\displaystyle{ p\land \neg p \Leftrightarrow 0}\), więc czerwone nawiasy nie pojawią się i będzie sześć członów.

Ale oczywiście bycie spostrzegawczym nie jest obowiązkowe.

JK

[furyy]

zauważyłem to

-- 11 cze 2019, o 20:17 --

dlatego mamy 3 alteratywy w poprzednim moim poscie

-- 11 cze 2019, o 20:22 --

czyli mogę zastosować prawo rozdzielczości koniunkcji wględem alternatywy dla:
\(\displaystyle{ \left( p \vee q\right) \wedge \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\)
tak jak wyżej, jeden raz dla wszyskich zdań?
czy muszę rozbijać po kawałku?

\(\displaystyle{ \left( r \vee s\right) \wedge \left( t \vee \neg p\right)}\) jak jedną całość i rozbić to względem \(\displaystyle{ \left( p \vee q\right)}\) ale można równie dobrze wybrać inną kombinację zdań.

-- 12 cze 2019, o 10:39 --

już mi się zgadza