Postulaty dotyczące dotyczące systemów aksjomatycznych.

[k221]

Cześć, mam dane postulaty systemów aksjomatycznych:
 niesprzeczność (warunek kategoryczny)
 rozstrzygalność
 niezależność
 zupełność (własność syntaktyczna)
 pełność (własność semantyczna)

I ich definicje:

Niesprzeczność:
System jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy z jego aksjomatów nie da się wywieść w oparciu o przyjęte w nim reguły dowodzenia zarówno formuły \(\displaystyle{ \alpha}\) jak i \(\displaystyle{ \sim\alpha}\) (nie da się wywieść dwóch formuł sprzecznych).

Rozstrzygalność:
System jest rozstrzygalny wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieje metoda pozwalająca o każdej formule języka rozstrzygnąć w skończonej liczbie kroków dowodowych pytanie, czy jest ona twierdzeniem
systemu czy nie.

Niezależność:
System jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden aksjomat nie da się wywieść z pozostałych według przyjętych w systemie reguł dowodzenia.

Zupełność (pojęcie syntaktyczne):
System jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły \(\displaystyle{ \alpha}\) albo \(\displaystyle{ \alpha}\), albo \(\displaystyle{ \sim\alpha}\) jest twierdzeniem (jest dowodliwa).

Pełność (pojęcie semantyczne semantyczne - zupełność semantyczna)
System jest pełny wtedy i tylko wtedy, gdy każda formuła prawdziwa jest również dowodliwa (jest
twierdzeniem).


I mam pytanie bo nie bardzo rozumiem czym się różni zupełność i pełność od rozstrzygalności, bo dla mnie wszystkie one mówią o tym, że jak wezmę jakąś formułę\(\displaystyle{ \alpha}\) to przy wykorzystaniu dostępnych w systemie twierdzeń dam radę stwierdzić prawdziwość lub fałszywość tej formuły. Będę wdzięczny za wytłumaczenie tej różnicy.

[krl]

Definicje podanych przez Ciebie własności systemów aksjomatycznych są nieścisłe, stąd zapewne Twoje problemy z ich zrozumieniem.

Różnica miedzy rozstrzygalnością a zupełnością:

W danym systemie może być tak, że dla każdej formuły \(\displaystyle{ \alpha}\) potrafimy rozstrzygnąć, czy jest ona dowodliwa (tzn system jest rozstrzygalny), ale są formuły \(\displaystyle{ \beta}\), dla których żadna z formuł \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \neg\beta}\) nie jest dowodliwa (system nie jest zupełny).

Różnica między rostrzygalnością a pełnością:

W danym systemie roztrzygalnym może być tak, że nie każda formuła prawdziwa jest w nim dowodliwa.

Różnica między zupełnością a pełnością: podane przez Ciebie definicje są nieścisłe. Przy pewnym rozumieniu tych definicji oba pojęcia są równoważne, przy innym - nie. Nieścisłość dotyczy głównie pojęcia prawdy, ale też kwestii, czy "albo" to alternatywa wykluczająca czy zwykła.