Sprawdzanie czy formuła jest tautologią
: 15 lis 2017, o 20:24
Mam podaną formułę:
\(\displaystyle{ [(\exists y \sim F(y)\Rightarrow \forall x \exists y G(x,y))\wedge \exists x \forall y \sim G(x,y)] \Rightarrow \forall x F(x)}\)
Muszę sprawdzić, czy jest ona tautologią. Z praw De Morgana:
\(\displaystyle{ [(\sim \forall y F(y)\Rightarrow \forall x \exists y G(x,y))\wedge \sim \forall x \exists y G(x,y)] \Rightarrow \forall x F(x)}\)
Próbuję doprowadzić ją do sprzeczności:
\(\displaystyle{ \forall x F(x) = 0}\)
Aby implikacja była prawdziwa to poprzednik implikacji musi być równy 1, z czego wynika:
\(\displaystyle{ \forall x \exists y G(x,y) = 0}\)
Aby poprzedni implikacji był prawdziwy to:
\(\displaystyle{ \sim \forall y F(y)=0}\)
Z czego uzyskuję:
\(\displaystyle{ \forall y F(y)=1}\)
Tutaj mam pytanie. Zgodnie ze wcześniejszymi założeniami \(\displaystyle{ \forall x F(x) = 0}\), więc \(\displaystyle{ \forall y F(y)=1}\) jest z tym sprzeczne i wynika z tego, iż formuła jest tautologią, czy w związku z tym, iż przy kwantyfikatorze znajduje się inna zmienna związana nie ma sprzeczności i formuła nie jest tautologią?
\(\displaystyle{ [(\exists y \sim F(y)\Rightarrow \forall x \exists y G(x,y))\wedge \exists x \forall y \sim G(x,y)] \Rightarrow \forall x F(x)}\)
Muszę sprawdzić, czy jest ona tautologią. Z praw De Morgana:
\(\displaystyle{ [(\sim \forall y F(y)\Rightarrow \forall x \exists y G(x,y))\wedge \sim \forall x \exists y G(x,y)] \Rightarrow \forall x F(x)}\)
Próbuję doprowadzić ją do sprzeczności:
\(\displaystyle{ \forall x F(x) = 0}\)
Aby implikacja była prawdziwa to poprzednik implikacji musi być równy 1, z czego wynika:
\(\displaystyle{ \forall x \exists y G(x,y) = 0}\)
Aby poprzedni implikacji był prawdziwy to:
\(\displaystyle{ \sim \forall y F(y)=0}\)
Z czego uzyskuję:
\(\displaystyle{ \forall y F(y)=1}\)
Tutaj mam pytanie. Zgodnie ze wcześniejszymi założeniami \(\displaystyle{ \forall x F(x) = 0}\), więc \(\displaystyle{ \forall y F(y)=1}\) jest z tym sprzeczne i wynika z tego, iż formuła jest tautologią, czy w związku z tym, iż przy kwantyfikatorze znajduje się inna zmienna związana nie ma sprzeczności i formuła nie jest tautologią?