Szereg implikacji jednej zmiennej a tautologia

[Kalkulatorek]

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zdanie \(\displaystyle{ p \rightarrow p \dots \rightarrow p}\) (\(\displaystyle{ n}\) implikacji) jest tautologią?

(1) Sprawdzam dla \(\displaystyle{ p = 1}\):
Implikacja dwóch prawdziwych zdań jest zawsze prawdziwa - zatem warunek spełniony

(2) Dla \(\displaystyle{ p = 0}\):
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\): prawda
Dla \(\displaystyle{ n = 2}\): fałsz
Dla \(\displaystyle{ n = 3}\): prawda
Dla \(\displaystyle{ n = 4}\): fałsz

Sprawdzam przy użyciu indukcji:
Z przykładów wynika, że zdanie jest prawdziwe dla liczby \(\displaystyle{ 1}\) oraz fałszywe dla liczby \(\displaystyle{ 2}\). Zakładam, że prawdziwe jest dla liczb nieparzystych, a fałszywe dla parzystych.
Zakładam, że dla pewnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ 2k+1}\) zdanie jest prawdziwe. Wówczas jest ono fałszywe dla \(\displaystyle{ 2k+2}\)
Zatem zdanie jest prawdziwe dla liczb nieparzystych.

Czy rozwiązałem to zadanie w odpowiedni i dość "formalny" sposób?

[Jan Kraszewski]

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zdanie \(\displaystyle{ p \rightarrow p \dots \rightarrow p}\) (\(\displaystyle{ n}\) implikacji) jest tautologią?

Dla mnie to zadanie jest źle sformułowane. Przy standardowych priorytetach spójników logicznych to zdanie jest niejednoznaczne. Nie wiadomo, czy chodzi o

\(\displaystyle{ p \rightarrow\left( p \rightarrow \left( p \rightarrow \dots \rightarrow p\right) \right)}\)

czy o

\(\displaystyle{ \left( \left( p \rightarrow \dots \rightarrow p\right) \rightarrow p\right) \rightarrow p}\).

JK

[Kalkulatorek]

W domyśle chodzi o drugą możliwość.

[Jan Kraszewski]

Odpowiedź jest poprawna, natomiast jeśli chodzi o poziom formalizmu, to wszystko zależy od tego, jakie są oczekiwania. W pełni formalny dowód składa się z rekurencyjnej konstrukcji tego typu formuł, a potem z indukcyjnego dowodu ww. faktu, bazującego na wcześniej wspomnianej konstrukcji.

JK