definiowanie w strukturze

[matmatmm]

Pozwolicie, że dopytam o kilka rzeczy. Weźmy strukturę \(\displaystyle{ (\RR,<)}\), o której była mowa wcześniej. Ja rozumiem to tak, że wiemy tylko, że \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ <}\) jest relacją binarną na tym zbiorze. Innymi słowy wcale nie musi być tak, że \(\displaystyle{ \RR}\) jest to zbiór liczb rzeczywistych. @foundofmath, dopytujesz się o dowód, że w tej strukturze nie można zdefiniować zera. Z tym, że żeby w jakikolwiek sposób mówić o zerze, to trzeba to trzeba najpierw określić, czym to zero jest. Innymi słowy musimy zdefiniować to, o czym później ewentualnie wykażemy, że nie da się tego zdefiniować. Bez wiedzy, że \(\displaystyle{ \RR}\) jest "tym" \(\displaystyle{ \RR}\) nie da się tego zrobić.

Nie mniej jednak pytanie o dowód, że za pomocą relacji \(\displaystyle{ <}\) w zbiorze liczb rzeczywistych nie da się zdefiniować zera wydaje mi się sensowne i ja bym próbował argumentować to tak:
\(\displaystyle{ (\RR,<,0)}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ (\RR,<,1)}\)
Gdyby więc za pomocą \(\displaystyle{ <}\) dało się zdefiniować \(\displaystyle{ 0}\), to musiałoby być \(\displaystyle{ 0=1}\), bo izomorfizm "przeniósłby tę definicję".

[foundofmath]

1. Termu \(\displaystyle{ f(n)-g}\) nie da się zdefiniować w podanej strukturze (w języku z symbolami \(\displaystyle{ <,\mathbb{N},f}\)). Natomiast użycie tego termu nie jest konieczne dla zdefiniowania zbieżności ciągu. Tzn. można to zapisać w języku tej struktury. Postaraj się bardziej...

Na przykład?
\(\displaystyle{ \exists_g( \forall_a( \forall_b( (a<g \wedge g<b)\Rightarrow \exists_k(\mathbb{N}(k)\wedge \forall_n(\mathbb{N}(n)\Rightarrow \forall_m(\mathbb{N}(m)\Rightarrow \\( (k<n \wedge k<m)\Rightarrow(a<f(n)\wedge a<f(m)\wedge f(n)<b\wedge f(m)<b) ) ) ) ) ) ) )}\)

[krl]

@matmatmm: Po pierwsze, \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to zbiór liczb rzeczywistych. Argument z automorfizmem jest poprawny. Jednak nie zawsze on działa. Przykład: struktura \(\displaystyle{ (\mathbb{R},+,\cdot)}\) (czyli: ciało liczb rzeczywistych) jest sztywna (nie ma żadnego nietrywialnego automorfizmu), więc argument z automorfizmem nie działa. Formuł języka jest przeliczalnie wiele, więc tylko przeliczalnie wiele liczb da się tu zdefiniować. Nie da się w niej zdefiniować żadnej liczby przestępnej. Nie da się w niej zdefiniować zbioru liczb naturalnych (jako predykatu). Dokładniej:
da się w tej strukturze zdefiniować dokładnie wszystkie liczby algebraiczne, a z predykatów unarnych: dokładnie te predykaty, które są skończonymi sumami przedziałów otwartych o końcach w liczbach algebraicznych (dopuszczając \(\displaystyle{ \pm\infty}\)) oraz punktów będących liczbami algebraicznymi. (To wymaga teorii modeli na wstępnym poziomie i trochę algebry).
Przykład w drugą stronę: w strukturze \(\displaystyle{ (\mathbb{Q},+,\cdot)}\) (ciało liczb wymiernych) można zdefiniować zbiór liczb naturalnych (jako predykat), choć formuła go definiująca jest bardzo skomplikowana. Używa się tu zaawansowanej matematyki. To jest wynik Julii Knight z ok. 1945.

@foundofmath: Formuła jest dobra. Można jednak ją uprościć. Zamiast dwóch zmiennych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) można użyć jednej, by wyrazić tę samą treść. Można też stosować skróty:

\(\displaystyle{ \exists g(\forall a,b)\exists k\forall n(a<g<b\rightarrow \mathbb{N}(k)\land(\mathbb{N}(n)\land k<n\rightarrow a<f(n)<b))}\)

Zwróć też uwagę, że w standardowej notacji logicznej zmienne piszemy przy kwantyfikatorze na tym samym poziomie, nie jako indeks.