Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

[crackcommander]

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ:
\(\displaystyle{ [(A \longrightarrow B) (C \longrightarrow D)]\longrightarrow [(A B)\longrightarrow (B D)]}\)

[Xfly]

Co rozumiesz pod skrótem KRZ ?

[scyth]

Rozumiem, że poprawny zapis to:
\(\displaystyle{ [(A B)\wedge(C D)]\Rightarrow[(A C)\Rightarrow(B D)]}\)

\(\displaystyle{ A B}\) zachodzi gdy:
1. \(\displaystyle{ A=0}\)
Wtedy niezależnie od watrości \(\displaystyle{ C, D}\) (ale spełniających założenie) zachodzi \(\displaystyle{ A C = 0}\) zatem implikacja (implikacje) są spełnione
2. \(\displaystyle{ A=1}\)
Wtedy gdy \(\displaystyle{ C=0}\) otrzymujemy punkt 1. Zatem niech \(\displaystyle{ A=C=1}\).Wtedy również (z założenia) \(\displaystyle{ B=D=1}\), zatem implikacja jest spełniona.

[crackcommander]

Hmm, chyba nie o to mi chodzi. KRZ to skrót od Klasycznego Rachunku Zdań. Udowodnić takie twierdzenie można na podstawie reguły odrywania, zastosowania aksjomatów, twierdzenie nie wprost itp. Nie możemy takiego twierdzenia udowadniać za pomocą logiki dwuelementowej przy pomocy tabeli.

[Xfly]

Metoda nie wprost.

Zakładamy, że zdanie to nie jest tautologią, a więc dla pewnych wartości zmiennych zdaniowych jest fałszywe. Widzimy, że jest to implikacja, która jest fałszywa tylko gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Mamy \(\displaystyle{ (A B) (C D) = 1}\) i \(\displaystyle{ (A C) (B D) = 0.}\) Następnik też jest implikacją, więc \(\displaystyle{ A C = 1 i B D = 0}\). Z określenia koniunkcji mamy \(\displaystyle{ A = 1, B = 1 0, C = 1, D = 1 0}\) (przy czym nie zachodzi B = 1 i D = 1). Zajmiemy się następnikiem głównej implikacji. Jest to koniunkcja, prawdziwa tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ A B = 1}\) i \(\displaystyle{ C D =1}\) Przy wcześniejszych wartościach A i C dochodzimy do wniosku, że B i D muszą być też prawdziwe. Jest to sprzeczne z wcześniej uzyskanymi rezultatami że nie zachodzi \(\displaystyle{ B = 1}\) i \(\displaystyle{ D = 1}\). Sprzeczność to obala nasze założenie że nie jest to tautologia, więc jest to tautologia. cdn.

[Jan Kraszewski]

Oj, nie zrozumieliście crackcommandera... On potrzebuje dowodu syntaktycznego, a nie semantycznego (a taki podał zarówno scyth, jak i Xfly).
JK