Czy wyrażenia są tautologią?

[Rozbitek]

Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki.
\(\displaystyle{ [(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)] \Rightarrow [(p \wedge s) \Rightarrow (q \vee r)]}\)

Sprawdźmy więc jedyną możliwość kiedy tautologia nie zachodzi \(\displaystyle{ "1 \Rightarrow 0"}\)

\(\displaystyle{ w[(p \wedge s) \Rightarrow (q \vee r)] = 0}\)
\(\displaystyle{ w(p \wedge s) = 1}\)
\(\displaystyle{ w(p) = 1, w(s) = 1}\)
\(\displaystyle{ w(q) = 0, w(r) = 0}\)

\(\displaystyle{ w[(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)] = 0}\), bo \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) (1 \Rightarrow 0)}\)

W jedynej możliwej sytuacji gdzie zdanie okazałoby się nieprawdą - nadal jest prawdziwe, więc w każdej innej również takie jest. W związku z czym jest, to tautologia.


\(\displaystyle{ [(p \wedge s) \Rightarrow (q \vee r)] \Rightarrow [(p \Rightarrow q) \vee (r \Rightarrow s)]}\)

Tak jak wyżej sprawdzam co w sytuacji gdy poprzednik równy jeden a następnik 0.

\(\displaystyle{ [(p \wedge s) \Rightarrow (q \vee r)]}\)

to będzie prawdą zawsze gdy \(\displaystyle{ w(p \wedge s) = 0}\)
więc \(\displaystyle{ w(p) = 0 \wedge w(s) = 0}\)

\(\displaystyle{ [(p \Rightarrow q) \vee (r \Rightarrow s)]}\) jest fałszem gdy \(\displaystyle{ w(r) = 1}\)

A więc zdanie nie jest tautologią, bo znaleźliśmy przykład kiedy wyrażenie jest fałszywe. Dla: \(\displaystyle{ w(p) = 0 , w(s) = 0 , w(r) = 1 , w(q)}\) na przykład równa \(\displaystyle{ 0}\).

[kerajs]

OK.

[Cytryn]

Nie jest dobrze. Bez tabelki można jeszcze stosować inne tautologie, żeby doprowadzić drugie zdanie do alternatywy zdań \(\displaystyle{ q, s, \neg p, \neg r}\).

Pierwsze zdanie to tautologia.

[iksinski]

Jeśli chcesz sprawdzić jakąś tautologię szybko metodą zero-jedynkową nie-wprost najprościej jest zrobić to tak: Pod funktorem głównym wpisujesz 0 ( założenie nie-wprost) w tym przypadku jest to implikacja więc poprzednik 1 następnik 0. Tę jedynkę i zero trzeba wpisać pod odpowiednimi funktorami. I wnioskujesz dalej jeśli np: na funktorze sumy jest zero to obie zmienne są zero więc podpisujesz 0 pod tymi zmiennymi i w każdym miejscu gdzie występują. Jeśli uzyskasz sprzeczność( 0 i 1) pod którymś funktorem to to wyrażenie jest tautologią. Jeśli nie wystąpi sprzeczność masz listę wartości zmiennych dla których to wyrażenie przyjmuje wartość zero. W ten sposób możesz zbadać to w ciągu paru sekund.

Sprawdziłem i wyszło że jest tautologią.

[Cytryn]

iksinski, właśnie tę metodę zastosował autor tematu, by nie wykonywać tabelki.

[iksinski]

I co wyszło? Jest czy nie jest tautologią?

[Cytryn]

Metoda jest dobra, ale źle użyta. OP nie sprawdził, co się dzieje gdy \(\displaystyle{ p \wedge s}\) jest prawdą.

Powtórzę: pierwsze zdanie jest prawdziwe zawsze, drugie jest równoważne \(\displaystyle{ \neg p \vee q \vee \neg r \vee s}\).

[iksinski]

Jakie pierwsze zdanie i jakie drugie? Pytanie brzmi czy wyrażenie jest tautologią. Jest tylko jedno wyrażenie.

[Cytryn]

1. \(\displaystyle{ [(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)] \Rightarrow [(p \wedge s) \Rightarrow (q \vee r)]}\)
2. \(\displaystyle{ [(p \wedge s) \Rightarrow (q \vee r)] \Rightarrow [(p \Rightarrow q) \vee (r \Rightarrow s)]}\)

[iksinski]

Nie zauważyłem tej drugiej. Tylko dla \(\displaystyle{ p=1, q=0, r=1, s=0}\) daje zero.