W jakich strukturach prawdziwa jest formuła ?

[matinf]

Cześć,
W jakich strukturach prawdziwa jest formuła ?
\(\displaystyle{ \exists_{y} (y\neq x)}\)

Przede wszystkim nie rozumiem co to znaczy struktura ? Czy to jest zbiór dla zmiennych ? Tzn skąd bierzemy zmienne \(\displaystyle{ x, y}\). Np. \(\displaystyle{ \RR, \NN}\) ?

Pytanie w jakich strukturach jest prawdziwa formuła ? No w takich, które mają co najmniej dwa elementy ? ALe czym jest tu \(\displaystyle{ x}\) ?

[Jan Kraszewski]

Przede wszystkim nie rozumiem co to znaczy struktura ? Czy to jest zbiór dla zmiennych ? Tzn skąd bierzemy zmienne \(\displaystyle{ x, y}\). Np. \(\displaystyle{ \RR, \NN}\) ?

W tym wypadku tak, bo nie masz w tej formule żadnych symboli funkcyjnych, symboli relacyjnych ani symboli stałych.

JK

[matinf]

Ok,
w takim razie odpowiedzią jest tu wg mnie: Kazda struktura o mocy co najmniej dwa.
Jak rozumiem \(\displaystyle{ x}\) jest ustalonym elementem struktury.

A co w przypadku \(\displaystyle{ \exists_x x\neq x}\) ? Istnieje taka struktura ? Wg mnie nie istnieje.

[krl]

Ok,

Jak rozumiem \(\displaystyle{ x}\) jest ustalonym elementem struktury.

Nie, \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną. W ogóle to przede wszystkim pojęcie spełniania w strukturze dotyczy zdań, a nie formuł ze zmienną wolną \(\displaystyle{ x}\). (Zdanie (formalne) to formuła bez zmiennych wolnych.) W przypadku jednak, gdy formuła \(\displaystyle{ \vaphi}\) ma zmienne wolne, przyjmuje się na mocy konwencji, że jest ona prawdziwa w danej strukturze, gdy jej uniwersalne domknięcie jest prawdziwe w tej strukturze.

W tym konkretnym przypadku uniwersalne domknięcie naszej formuły to \(\displaystyle{ \forall x\exists y (x\neq y)}\).

[matinf]

Ok,

Jak rozumiem \(\displaystyle{ x}\) jest ustalonym elementem struktury.

Nie, \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną. W ogóle to przede wszystkim pojęcie spełniania w strukturze dotyczy zdań, a nie formuł ze zmienną wolną \(\displaystyle{ x}\). (Zdanie (formalne) to formuła bez zmiennych wolnych.) W przypadku jednak, gdy formuła \(\displaystyle{ \vaphi}\) ma zmienne wolne, przyjmuje się na mocy konwencji, że jest ona prawdziwa w danej strukturze, gdy jej uniwersalne domknięcie jest prawdziwe w tej strukturze.

W tym konkretnym przypadku uniwersalne domknięcie naszej formuły to \(\displaystyle{ \forall x\exists y (x\neq y)}\).

Czy możesz być bardziej szczegółowy ?

[krl]

Bardziej szczegółowo: to, że formuła \(\displaystyle{ \exists y(x\neq y)}\) jest prawdziwa w strukturze \(\displaystyle{ M}\) oznacza po prostu, że w tej strukturze jest prawdziwe jej uniwersalne domknięcie, czyli zdanie \(\displaystyle{ \forall x\exists y(x\neq y)}\).

[matinf]

Ahhh, ok. Jeśli jakaś zmienna nie jest kwantyfikowana, to domyślnie przyjmujemy, że jest kwantyfikowana przez "dla każdego".

W jakich strukturach jest prawdziwa formuła ?
\(\displaystyle{ \exists_{y} (y\neq x)}\)
To jest to samo, co
\(\displaystyle{ \forall_x\exists_{y} (y\neq x)}\)
To jest spełnione dla każdej struktury nad dziedziną rozmiaru co najmniej dwa.

Natomiast
\(\displaystyle{ \exists_{x} (x\neq x)}\)
W tym wypadku odpowiedź jest ta sama.

Dobrze myślę ?

[Cytryn]

A co, jeśli dziedziną (strukturą?) jest zbiór liczb naturalnych? Czy istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb N}\), że \(\displaystyle{ x \neq x}\)?

[matinf]

A co, jeśli dziedziną (strukturą?) jest zbiór liczb naturalnych? Czy istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb N}\), że \(\displaystyle{ x \neq x}\)?

Tak przeoczyłem to. Natomiast "pierwsza" wersja powinna być prawidłowa.

\(\displaystyle{ \exists_x x \neq x}\)
Wydaje mi się, że żaden zbiór tego nie spełnia (dziedzina)