Dziwny problem z logicznym myśleniem

[malyM9]

Cześc.
W sumie nie wiem czy to odpowiedni dział na moje pytanie, więc proszę przenieśc temat w razie czego.

Jak należy rozumiec zdanie:
"Dla dowolnych liczb A i B należących do zbioru liczby rzeczywistych, zachodzi..."

Chodzi mi o pierwszą częśc zdania, a konkretniej o fragment
"Dla dowolnych liczb A i B"

Czy to oznacza że liczby A, B są konkretnymi dowolnymi liczbami, czy
że dwie dowolne liczby są oznaczone jako A i B( z czego wynikałoby że mogę je oznaczyc, nie koniecznie jako A i B, ale np. jako C i D, bo nadal będą one symbolizowac to samo)?

Do czego zmierzam, jeśli mamy jakiś wzór dajmy na to: \(\displaystyle{ A ^{2} -B ^{2} = (A+B)(A-B)}\), gdzie A,B są liczbami rzeczywistymi,
to czy jeśli zmienię oznaczenia z A i B, na C i D to czy to nadal będzie prawdziwy wzór?

Mam właśnie taką matematyczną rozkmine od 2 dni i im więcej o tym myślę, tym mniej rozumiem, dlatego proszę Was bardzo o pomoc.

[octahedron]

A możesz napisać ten wzór ze zmienionymi oznaczeniami?

[malyM9]

mogę:
\(\displaystyle{ C ^{2} -D ^{2} = (C+D)(C-D)}\)

Może trochę jeszcze rozwine moje pytanie:
"Dla dowolnych liczb A i B należących do zbioru liczby rzeczywistych, zachodzi..."
W tym zdaniu ważne jest że chodzi o dwie dowolne liczby rzeczywiste, czy to że są to liczby A i B(a może o to i o to)?
Jeśli to pierwsze, no to wydaje mi się, że równie dobrze mógłbym dac oznaczenia np. C i D, zamiast A i B i nadal wzór przedstawiałby tę samą zależnośc.

Jak powinienem to wszystko rozumiec?

[royas]

Czy uważasz, że te dwa wzory, które napisałeś przedstawiają taką samą zależność, czy jednak dwie różne zależności?

[octahedron]

No dokładnie, można zastąpić te litery innymi i wzór dalej obowiązuje. To są tylko oznaczenia, równie dobrze można wstawić jakieś słoneczka czy serduszka. Zresztą co to jest liczba \(\displaystyle{ A}\)?

[malyM9]

Czyli w kazdym wzorze moge sobie zmienic literki i to nadal bedzie działac?

W sumie jesli dobrze mysle to to bez znaczenia
czy np. w jakiejs
funkcji bedzie:
y=ax+b
czy
y=am+b

skoro m i x są oznaczeniem zmiennej?

dobrze to rozumiem?

[Jan Kraszewski]

Tak, choć trzeba robić to uważnie, by nie zmienić sensu wzoru. Np. we wzorze \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\) nie możesz zamienić \(\displaystyle{ b}\) na \(\displaystyle{ a}\) (nie zmieniając przy tym \(\displaystyle{ a}\)).

JK

[malyM9]

ok, chciałbym jeszcze zapytac o ciąg;

mamy wzór na \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciagu,
a gdybym chciał wzór na \(\displaystyle{ k}\)-ty wyraz
to tez tylko zmieniam literke
bo w obu przypadkach \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) symbolizuja to samo - dowolny wyraz ciagu?
Dobrze myślę

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[malyM9]

Jeszcze jedno pytanko,
Jak mamy np.
funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)}\)
oraz
\(\displaystyle{ g(x)}\)

to czym są te literki \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)?
można powiedziec że są to nazwy funkcji?

[Jan Kraszewski]

Literki \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) oznaczają właśnie funkcje. Stwierdzenie "funkcja \(\displaystyle{ f}\)" jest w pewnym sensie poprawniejsze od "funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\)", bo \(\displaystyle{ f(x)}\) oznacza (też) wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla argumentu \(\displaystyle{ x}\).

JK

[malyM9]

Dziękuję Panu bardzo za rzeczowe odpowiedzi, szkoda że nie mówi się o takich drobiazgach w szkole.
Fakt że da się bez tego zyc i mozna po prostu liczyc zadania odruchowo, ale myślenia to niestety nie uczy.

Rozumiem że w oznaczeniach ciągów jest podobnie jak w oznaczeniach funkcji?

[Jan Kraszewski]

Rozumiem że w oznaczeniach ciągów jest podobnie jak w oznaczeniach funkcji?

To znaczy?

JK

[royas]

Ciąg też jest funkcją więc można mówić po prosu o ciągu np. \(\displaystyle{ a}\). To nie jest tak, że są jakieś super ścisłe przepisy jak należy to coś zapisywać, chodzi czytelność. Często mówi się o ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), ale to jak mówić właśnie o funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\). Jeśli chcemy precyzyjnie powiedzieć, że chodzi o ciąg a nie o \(\displaystyle{ n}\)-ty jego wyraz pisze się \(\displaystyle{ (a_n)}\), choć można jeszcze bardziej rozwinięte formy stosować. Zobacz np. na Wikipedii.