fałsz czy prawda
: 18 lip 2011, o 15:49
Czy jest prawdą, że:
a) \(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
d) \(\displaystyle{ \exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
Czy można to zadanie tak rozwiązać?
Skoro w każdym podpunkcie pojawia się \(\displaystyle{ \exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}}\), to możemy je usunąć z każdych podpunktów i wtedy otrzymujemy:
a)\(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to prawda, bo dla każdego \(\displaystyle{ x}\) znajdziemy \(\displaystyle{ y}\), np. \(\displaystyle{ y=x^2+1}\), takie że \(\displaystyle{ y>x^2}\) (bo wtedy mamy \(\displaystyle{ x^2+1>x^2 \Rightarrow 1>0}\), prawda).
b) \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy \(\displaystyle{ 0>x^2}\), a takiego \(\displaystyle{ x}\) nie znajdziemy
c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo nie znajdziemy takiego \(\displaystyle{ y}\), żeby dla każdego \(\displaystyle{ x}\) to zachodziło
d) \(\displaystyle{ \exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo jeżeli taki \(\displaystyle{ x}\) by istniał, to by musiało to zachodzić również dla np. \(\displaystyle{ y=-5}\), ale wtedy mielibyśmy, że \(\displaystyle{ -5>x^2}\), a to jest nieprawda
a) \(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
d) \(\displaystyle{ \exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
Czy można to zadanie tak rozwiązać?
Skoro w każdym podpunkcie pojawia się \(\displaystyle{ \exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}}\), to możemy je usunąć z każdych podpunktów i wtedy otrzymujemy:
a)\(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to prawda, bo dla każdego \(\displaystyle{ x}\) znajdziemy \(\displaystyle{ y}\), np. \(\displaystyle{ y=x^2+1}\), takie że \(\displaystyle{ y>x^2}\) (bo wtedy mamy \(\displaystyle{ x^2+1>x^2 \Rightarrow 1>0}\), prawda).
b) \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy \(\displaystyle{ 0>x^2}\), a takiego \(\displaystyle{ x}\) nie znajdziemy
c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo nie znajdziemy takiego \(\displaystyle{ y}\), żeby dla każdego \(\displaystyle{ x}\) to zachodziło
d) \(\displaystyle{ \exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo jeżeli taki \(\displaystyle{ x}\) by istniał, to by musiało to zachodzić również dla np. \(\displaystyle{ y=-5}\), ale wtedy mielibyśmy, że \(\displaystyle{ -5>x^2}\), a to jest nieprawda