Matematyka.pl

Dzień dobry,

piszę tutaj ponieważ mam pewien problem związany z rozumieniem pojęć: forma zdaniowa i funkcja zdaniowa. Na wykładzie - definicje te były podane osobno i dla funkcji zdaniowej zakładało się, że ta właśnie funkcja zdaniowa jest określona na jakimś konkretnym zbiorze, zaś forma zdaniowa to tylko ciąg symboli za które możemy podstawić coś i wtedy otrzymać albo zdanie prawdziwe albo fałszywe. Zaś sama definicja zdania brzmiała "Zdaniem nazywamy funkcję zdaniową bez zmiennych wolnych". Wydawało mi się, że to rozumiem, ale porównałam swoje notatki z notatkami koleżankami i nie wiem, czy ja nie rozumiem, czy ona nie rozumie. Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć tą subtelną różnicę między tymi pojęciami?

Normalnie sformułowania "funkcja zdaniowa" i "forma zdaniowa" funkcjonują zamiennie. Gdyby miały oznaczać różne rzeczy, nie byłoby to zbyt szczęśliwe rozwiązanie. Ale żeby rozstrzygnąć jednoznacznie, o co chodzi, musiałbym zobaczyć dokładne definicje, które zostały Ci podane.

JK

Definicja formy zdaniowej:

"Forma zdaniowa to wyrażenie zawierające zmienne, które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy za te zmienne podstawimy konkretne zdania."

Definicja funkcji zdaniowej jednej zmiennej:

"Niech A będzie zbiorem. Funkcja zdaniowa jednej zmiennej \(\displaystyle{ \phi (x)}\), jest to wyrażenie, które staje się zdaniem, gdy za x podstawimy konkretny element ze zbioru A."

Definicja funkcji zdaniowej wielu zmiennych:

"Niech \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n}\) będą zbiorami. Funkcja zdaniowa wielu zmiennych \(\displaystyle{ \phi (x_1,x_2,...,x_n)}\), jest to wyrażenie, które staje się zdaniem, gdy za \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n}\)podstawimy konkretne elementy ze zbioru A."

Z definicji można domniemywać, że przez formę zdaniową rozumie się formułę rachunku zdań, a przez funkcję zdaniową - formułę rachunku kwantyfikatorów. Wobec tego \(\displaystyle{ p \Rightarrow q\lor r}\) to forma zdaniowa, a \(\displaystyle{ (\exists x)(x\ge y)}\) to funkcja zdaniowa.

JK

Jan Kraszewski pisze:Z definicji można domniemywać, że przez formę zdaniową rozumie się formułę rachunku zdań, a przez funkcję zdaniową - formułę rachunku kwantyfikatorów. Wobec tego \(\displaystyle{ p \Rightarrow q\lor r}\) to forma zdaniowa, a \(\displaystyle{ (\exists x)(x\ge y)}\) to funkcja zdaniowa.

JK

Przy okazji zapytam, jeśli można. Czy trzeba pisać \(\displaystyle{ (\exists x)(x\ge y)}\) czy można również napisać \(\displaystyle{ \exists x(x\ge y)}\) (analogiczna sytuacja dot. kwantyfikatora ogólnego \(\displaystyle{ \forall}\)).

W tym konkretnym przypadku nawias można opuścić, ale zdarzają się takie funkcje zdaniowe, gdzie nawias lub jego brak są błędami.

Stawianie nawiasów to kwestia przyjętej konwencji, których akurat w tej kwestii jest kilka. Najważniejszą rzeczą, o którą trzeba dbać, jest jednoznaczność.

JK