Element jednostkowy w zbiorze R.

[_Mithrandir]

Mam taką formułę:

\(\displaystyle{ \bigvee \limits_{e \in R \backslash \{ 0 \}} \bigwedge \limits_{x \in R} x \cdot e = x}\)

Dlaczego zero jest odjęte ze zbioru R?

[czeslaw]

Dla \(\displaystyle{ e=0}\) mamy 0 = x, nie jest to prawdą dla dowolnego x.

[miki999]

Dla \(\displaystyle{ e=0}\) mamy 0 = x, nie jest to prawdą dla dowolnego x.

W sumie to zdanie jest prawdziwe, dla \(\displaystyle{ e \in R}\), więc w szczególności jest ono również prawdziwe dla \(\displaystyle{ e \in R \backslash \{ 0 \}}}\).
Równie dobrze moglibyśmy zapisać: \(\displaystyle{ \bigvee \limits_{e \in N} \bigwedge \limits_{x \in R} x \cdot e = x}\) i również nie można było by się przyczepić.
Chyba, że jest to omawiane przy okazji jakiegoś zagadnienia.


Pozdrawiam.

[czeslaw]

Zgadza się, możemy dowolnie zawęzić ten zbiór i twierdzenie będzie prawdziwe, tylko po co...

[miki999]

No dowolnie niekoniecznie

A po co? _Mithrandir pyta się dlaczego \(\displaystyle{ 0}\) jest odjęte od zbioru, a ja mówię, że szczerze to nie wiem.



Pozdrawiam.

[czeslaw]

W ogóle źle te kwantyfikatory sobie w myślach oznaczyłem, jakoś sądziłem, że są w odwrotnej kolejności. Wobec tego zupełnie nie rozumiem problemu - sądzę, że zostało coś wyrwane z kontekstu...

[Qń]

\(\displaystyle{ \bigvee \limits_{e \in R \backslash \{ 0 \}} \bigwedge \limits_{x \in R} x \cdot e = x}\)
Dlaczego zero jest odjęte ze zbioru R?

Żeby podkreślić, że w \(\displaystyle{ 0 \neq 1}\), co jest jedną z części definicji ciała.

Q.

[_Mithrandir]

Dla \(\displaystyle{ e=0}\) mamy 0 = x, nie jest to prawdą dla dowolnego x.

A e=2? Wtedy: 2x=x, więc x=0 i jest to samo, czemu na tej samej zasadzie nie są "usunięte" ze zbioru inne liczby?

Definicja ta została podana na wykładzie z analizy jako własność w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), przy podawaniu różnych aksjomatów.

Żeby podkreślić, że w \(\displaystyle{ 0 \neq 1}\), co jest jedną z części definicji ciała.

Q.

Możesz to rozwinąć?

[Qń]

Ciało można zdefiniować jako zbiór (co najmniej dwuelementowy) z dwoma działaniami \(\displaystyle{ (K, \oplus , \odot )}\) taki, że:
i) \(\displaystyle{ (K, \oplus )}\) jest grupą przemienną
ii) \(\displaystyle{ (K^* , \odot )}\) jest grupą przemienną (gdzie \(\displaystyle{ K^*}\) to \(\displaystyle{ K}\) bez elementu neutralnego działania \(\displaystyle{ \oplus}\))
iii) \(\displaystyle{ \odot}\) jest rozdzielne względem \(\displaystyle{ \oplus}\)

Żeby sprawdzić, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem, trzeba sprawdzić, że \(\displaystyle{ (\mathbb{R} , +)}\) jest grupą przemienną, a po stwierdzeniu, że \(\displaystyle{ 0}\) jest jej elementem neutralnym, trzeba sprawdzić, że \(\displaystyle{ (\mathbb{R}^*, \cdot )}\) jest grupą. Częścią tego drugiego sprawdzenia jet to, że w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}^* =\mathbb{R} \backslash \{ 0 \}}\) istnieje element neutralny mnożenia - to zaś właśnie jest powiedziane w formule, którą przytoczyłeś.

Q.

[_Mithrandir]

Ok, po tych paru dniach trafiło to do mnie To teraz jeszcze jedno: dlaczego z tej grupy, w której sprawdzamy przemienność mnożenia, wyłączamy 0?-- 21 października 2009, 18:23 --Przy okazji - czytałem definicje na wikipedii i nie znalazłem nic o wyłączaniu elementu neutralnego dodawania z grupy, w której sprawdzamy przemienność mnożenia.

[Kris-0]

Ok, po tych paru dniach trafiło to do mnie To teraz jeszcze jedno: dlaczego z tej grupy, w której sprawdzamy przemienność mnożenia, wyłączamy 0?

-- 21 października 2009, 18:23 --

Przy okazji - czytałem definicje na wikipedii i nie znalazłem nic o wyłączaniu elementu neutralnego dodawania z grupy, w której sprawdzamy przemienność mnożenia.

Powiedziałbym, że grupa (przemienna) to struktura algebraiczna (G,*), czyli z jednym określonym działaniem, o własnościach:
1. Działanie * jest łączne,
2. Istnieje element neutralny względem działania * należący do G,
3. Każdy element z G jest odwracalny względem *.
(4. Działanie * jest łączne)

Pozostając w zbiorze R, aby wykazać, że jest to ciało trzeba wyrzucić z R 0, ponieważ 0 nie jest elementem odwracalnym względem mnożenia i tym samym własność II ciała nie byłaby spełniona, bo nie byłaby spełniona własność 3. z definicji grupy. Zatem w definicji ciała musi być R-{0}.

[_Mithrandir]

Ok, dzięki, nie znałem definicji grupy