Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
ola_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 cze 2021, o 13:19
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: ola_ »

Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: \(\displaystyle{ ((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)}\) jest tautologią bez pomocy tabelki?
Ostatnio zmieniony 13 cze 2021, o 13:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: Dasio11 »

Ten napis to nie zdanie, tylko formuła rachunku zdań (inaczej schemat zdaniowy), bo występują w nim zmienne \(\displaystyle{ p, q}\). W zależności od tego co się podstawi za zmienne, napis może stać się prawdziwy lub fałszywy (teoretycznie, bo tu akurat będzie zawsze prawdziwy). Zdaniem zaś byłby taki napis, który od razu jest prawdziwy lub fałszywy bez żadnych podstawień.

Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
rafal3006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 1 raz

Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: rafal3006 »

ola_ pisze: 13 cze 2021, o 13:24 Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: \(\displaystyle{ ((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)}\) jest tautologią bez pomocy tabelki?
\(\displaystyle{ ((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)}\)

Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)

Dla uproszczenia tworzymy wewnętrzną funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo \(\displaystyle{ Y}\))
1.
\(\displaystyle{ ((Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p)) \Rightarrow p)}\)
2.
\(\displaystyle{ Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) = ( \neg p+q) \Rightarrow p)}\)
\(\displaystyle{ Y = ( \neg p+q) \Rightarrow p)= \neg (\neg p+q)+p}\)
\(\displaystyle{ Y = \neg (\neg p+q)+p = p* \neg q + p}\)
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p = p* (\neg q +1)}\)
\(\displaystyle{ Y = p}\)
Podstawiając do 1 mamy:
\(\displaystyle{ p=>p = \neg p+p =1}\)
cnd
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: Jan Kraszewski »

rafal3006 pisze: 22 cze 2021, o 00:24Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)

Dla uproszczenia tworzymy wewnętrzną funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo \(\displaystyle{ Y}\))
1.
\(\displaystyle{ ((Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p)) \Rightarrow p)}\)
2.
\(\displaystyle{ Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) = ( \neg p+q) \Rightarrow p)}\)
\(\displaystyle{ Y = ( \neg p+q) \Rightarrow p)= \neg (\neg p+q)+p}\)
\(\displaystyle{ Y = \neg (\neg p+q)+p = p* \neg q + p}\)
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p = p* (\neg q +1)}\)
\(\displaystyle{ Y = p}\)
Podstawiając do 1 mamy:
\(\displaystyle{ p=>p = \neg p+p =1}\)
cnd
Na wszelki wypadek zwrócę uwagę oli_, żeby raczej nie próbowała nikomu przedstawiać tego (skądinąd poprawnego, jeżeli zostanie poprawnie zapisane) rozumowania w tej wersji.

JK
rafal3006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 1 raz

Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: rafal3006 »

ola_ pisze: 13 cze 2021, o 13:24 Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: \(\displaystyle{ ((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)}\) jest tautologią bez pomocy tabelki?
Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić.

Zauważmy, że w samym przykładzie skrajne nawiasy są zbędne bo w matematyce nawiasy mają najwyższy priorytet wykonania.
Stąd:
Równie poprawny jest zapis
\(\displaystyle{ (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p}\)

W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, \(\displaystyle{ *, +}\)

Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)

Zróbmy czysto matematyczne podstawienie:
\(\displaystyle{ Y = (p \Rightarrow q) \Rightarrow p}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ (Y) \Rightarrow p}\)

Obliczamy \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ Y = (p \Rightarrow q) \Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ Y= ( \neg p+q) \Rightarrow p}\) - na mocy definicji znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ Y = \neg (\neg p+q) +p}\) - na mocy definicji znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p}\) - na mocy prawa De Morgana
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p*1}\) - prawo algebry Boole'a: \(\displaystyle{ p=p*1}\)
\(\displaystyle{ Y = p*( \neg q+1)}\) - wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
\(\displaystyle{ Y = p*1}\) - bo prawo algebry Boole'a \(\displaystyle{ x+1 =1}\), gdzie x=dowolne wyrażenie algebry Boole'a
\(\displaystyle{ Y=p}\) - prawo algebry Boole'a: \(\displaystyle{ p=p*1}\)

Odtwarzając podstawienie mamy:
\(\displaystyle{ (Y) \Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ (p) \Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ p \Rightarrow p = \neg p+p =1}\) - na mocy definicji znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
oraz prawa algebry Boole'a:
\(\displaystyle{ \neg p+p =1}\)
cnd

Moje uwagi:
1.
Jestem absolwentem elektroniki specjalność automatyka na Politechnice Warszawskiej
Dla mnie, jako przybysza ze świata techniki powyższy dowód to elementarz algebry Boole'a wzbogaconej o definicję znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.
Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
2.
Schemat dowodu proponowany wyżej:
Dasio11 pisze: 13 cze 2021, o 13:44 Ten napis to nie zdanie, tylko formuła rachunku zdań (inaczej schemat zdaniowy), bo występują w nim zmienne \(\displaystyle{ p, q}\). W zależności od tego co się podstawi za zmienne, napis może stać się prawdziwy lub fałszywy (teoretycznie, bo tu akurat będzie zawsze prawdziwy). Zdaniem zaś byłby taki napis, który od razu jest prawdziwy lub fałszywy bez żadnych podstawień.

Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etc

Ciekawostka:
Skończyłem elektronikę na PW-wa w roku 1980 gdzie algebra Boole’a wykładana była na najwyższym światowym poziomie a takie terminy jak „Klasyczny Rachunek Zdań”, „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu ziemskiej logiki matematycznej usłyszałem po raz pierwszy w życiu w roku 2006, czyli 26 lat po skończeniu studiów.
Usłyszawszy takie zdania prawdziwe w ziemskiej logice matematycznej jak:

Kod: Zaznacz cały

https://www.salon24.pl/u/disamis/540547,falsum-sequitur-quodlibet

Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
nie miałem wyjścia - musiałem wejść na serio w temat „logika matematyczna” i siedzę w tym od 15 lat. Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: Jan Kraszewski »

rafal3006 pisze: 23 cze 2021, o 09:06Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić.
Ależ oczywiście, że ma.
rafal3006 pisze: 23 cze 2021, o 09:06 W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, \(\displaystyle{ *, +}\)
Ale tutaj jesteś na forum matematycznym, więc powinieneś używać terminologii matematycznej, w której nie ma działań, tylko spójniki logiczne, które mają inne priorytety. Bez tego nie pomagasz osobie, które zadała pytanie, bo produkujesz rozwiązanie, które z jej punktu widzenia jest mało przydatne.
rafal3006 pisze: 23 cze 2021, o 09:06 Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
Dla matematyka to nie jest "definicja znaczka", tylko prawo eliminacji implikacji.

Nie chodzi o to, że Twoje rachunki są niepoprawne, tylko o to, że używasz innego języka (jak sam zauważasz) i w związku z tym nie jesteś pomocny.
rafal3006 pisze: 23 cze 2021, o 09:06 Schemat dowodu proponowany wyżej:
(...)
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etc
No ale to Twój problem.
rafal3006 pisze: 23 cze 2021, o 09:06Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
Ale na pewno nie w tym wątku, bo on jest poświęcony czemu innemu.

JK
rafal3006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 1 raz

Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli

Post autor: rafal3006 »

Zgadzam się z powyższymi uwagami.
Póki co dziękuję, bowiem ciągle pracują nad doskonaleniem tego co robię - nie mam jeszcze gotowego produktu, na bazie którego mógłbym dyskutować z matematykami.
Jak skończę, to mam nadzieję, że w innym temacie będę mógł na matematyce.pl przedstawić inną wizję logiki matematycznej, niż obecnie obowiązująca.
ODPOWIEDZ