Ocena prostego dowodu

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
pladq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 16 sie 2020, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 2 razy

Ocena prostego dowodu

Post autor: pladq » 25 paź 2020, o 12:42

Cześć, mam na studiach do oceny taki dowód:
Niech m bedzie liczba calkowita.
Stwierdzenie. Jezeli \(\displaystyle{ m^{2}}\)jest nieparzyste, to m jest nieparzyste.

Dowód:
Załóżmy że m nie jest liczbą nieparzystą. Wtedy \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest parzyste, tzn. \(\displaystyle{ m^{2} = 2k}\) (k całkowite). Stad \(\displaystyle{ \sqrt{2k}}\) jest liczbą calkowita.
Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2k}}\) byloby liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ \sqrt{2k} = 2n +1}\) (n całkowite), co oznacza:\(\displaystyle{
m^{2} = 2k = (2n+1)^{2} = ... = 2(2n^{2} +2n) +1 }\)


Stad wnioskujemy ze \(\displaystyle{ m^{2} }\) jest liczba nieparzysta, co jest sprzeczne z naszym załozeniem.
Zatem\(\displaystyle{ \sqrt{2k} = m }\) musi byc liczbą parzystą. Stąd mamy ze jezeli \(\displaystyle{ m^{2} }\) nie jest liczba nieparzysta to m nie jest liczba nieparzystą.
Ostatecznie otrzymujemy, że jeżeli \(\displaystyle{ m^{2} }\) jest nieparzyste to m jest nieparzyste.
Wg. mnie dowód jest czesciowo poprawny, bo zdanie "Stąd mamy ze jezeli \(\displaystyle{ m^{2} }\) nie jest liczba nieparzysta to \(\displaystyle{ m}\) nie jest liczba nieparzystą. " mozna zapisac jako \(\displaystyle{ \neg p \Rightarrow \neg q }\) (\(\displaystyle{ p - m^{2}}\) jest nieparzyste, \(\displaystyle{ q -m}\) jest nieparzyste), a nie jest to równoważne z \(\displaystyle{ p \Rightarrow q }\)(czyli tezą).
Czy dobrze to "oceniłem"? W jaki sposób można naprawić ten błąd (jeśli istnieje xd), wystarczy ze napisze to co wyżej, o \(\displaystyle{ \neg p \Rightarrow \neg q }\)?.
Czy może caly dowod powinien być oceniony jako zły, bo jest to złe zastosowanie dowodu nie wprost?
Ostatnio zmieniony 25 paź 2020, o 12:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26932
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Re: Ocena prostego dowodu

Post autor: Jan Kraszewski » 25 paź 2020, o 13:31

Dowód "częściowo poprawny" to oksymoron. Ten dowód jest po prostu zły i to nie tylko z powodu, który wskazałeś.
Niech m bedzie liczba calkowita.
Stwierdzenie. Jezeli \(\displaystyle{ m^{2}}\)jest nieparzyste, to m jest nieparzyste.

Dowód:
Załóżmy że m nie jest liczbą nieparzystą.
Należałoby dodać, że to założenie nie wprost. Nie jest jednak jasne, czy osobą pisząca dowód wie, na jakiej podstawie czyni to założenie.
Wtedy \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest parzyste
,
Główny błąd jest już tutaj. Fakt, że \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest parzyste powinniśmy wywnioskować, a nie stwierdzić, a po wywnioskowaniu powinniśmy od razu zadeklarować sprzeczność z założeniem i zakończyć dowód.
Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2k}}\) byloby liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ \sqrt{2k} = 2n +1}\) (n całkowite), co oznacza:\(\displaystyle{
m^{2} = 2k = (2n+1)^{2} = ... = 2(2n^{2} +2n) +1 }\)


Stad wnioskujemy ze \(\displaystyle{ m^{2} }\) jest liczba nieparzysta, co jest sprzeczne z naszym załozeniem.
Ten fragment to bzdura, w którym wnioskujemy z tezy bądź dowodzimy nie wprost twierdzenie odwrotne. Nie ma to żadnego związku z dowodzoną tezą.
Zatem\(\displaystyle{ \sqrt{2k} = m }\) musi byc liczbą parzystą.
Znów bez sensu, bo wnioskujemy coś, co założyliśmy na początku (albo dowodzimy coś innego, co nie ma związku z zadaniem).
Stąd mamy ze jezeli \(\displaystyle{ m^{2} }\) nie jest liczba nieparzysta to m nie jest liczba nieparzystą.
Istotnie można uznać, że przeprowadzone w tym dowodzie rachunki pozwalają wysnuć taki wniosek, który wszelakoż nie ma żadnego związku z dowodzonym twierdzeniem.
Ostatecznie otrzymujemy, że jeżeli \(\displaystyle{ m^{2} }\) jest nieparzyste to m jest nieparzyste.
To jest typowy "dowód na aferę". Na początku jest (potencjalnie) poprawne założenie, na końcu jest teza, a w środku jest chaos, który ma niewiele wspólnego z tym, co powinno być dowiedzione. Szczegółowe analizowanie takiego dowodu nie ma wg mnie większego sensu - cóż z tego, że w środku pojawia się coś, co można uznać za niezdarny dowód tw. odwrotnego do rozpatrywanego?

JK

pladq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 16 sie 2020, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 2 razy

Re: Ocena prostego dowodu

Post autor: pladq » 25 paź 2020, o 14:33

czyli w skrócie mogę uznać, że dowód jest zły, bo wnioski nie mają nic wspólnego z tezą?
Czy powinienem się też "przyczepić" do samego "srodka", czy może nie jest to konieczne skoro i tak wnioski są złe?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26932
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Re: Ocena prostego dowodu

Post autor: Jan Kraszewski » 25 paź 2020, o 20:55

Trudno powiedzieć, bo nie wiem, jakie są oczekiwania względem Twojej odpowiedzi. Dowód jest na pewno niepoprawny. Przeprowadzone rozumowanie nie ma związku z tym, czego należało dowieść, ale nie wiem, jak dokładnie powinieneś opisywać to, co jest w tym dowodzie robione (a co wygląda jak niezdarny dowód twierdzenia odwrotnego).

JK

ODPOWIEDZ