Moglibyście zweryfikować odpowiedzi z egzaminu wstępnego do Wrocławskiego lo nr. III?
Zad 1)Dane jest \(\displaystyle{ n=2 ^{12}}\), która z tych liczb jest większa? \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\), czy \(\displaystyle{ n^{1000}}\)
Zad 2) Czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n ^{2}+1}\) jest podzielne przez 3?
Zad 3) W trójkącie równobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) o boku \(\displaystyle{ 8}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\) wyznaczono taki punkt \(\displaystyle{ D}\), że \(\displaystyle{ \left| AD\right|= 3}\). Ile wynosi długość odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Zad 4) Wyznacz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 1234567891011....9899}\) przez \(\displaystyle{ 9}\).
Zad 5) Znajdź wszystkie możliwe dwójki \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniających układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{5}=2y \\ y ^{3}= 16x \end{cases}}\)
Zad 6)Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } + \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }}\) jest wymierna.
Zad 7) Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=CD=4}\) i \(\displaystyle{ AD=BC=3}\) oraz długość przekątnej \(\displaystyle{ DB}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Ile wynosi długość przekątnej \(\displaystyle{ CA}\)?
To moje odpowiedzi:
Zad 1) \(\displaystyle{ n ^{1000}=\left( 2 ^{12} \right) ^{1000}=2 ^{12000}}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n}= 2 ^{2 ^{12} } = 2 ^{4096} \Rightarrow n ^{1000}>2 ^{n}}\)
Zad 2) Możliwe reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 0,1,2}\), więc mamy:
\(\displaystyle{ n \equiv 0 \pmod{3} \\
n \equiv1 \pmod{3} \\
n \equiv 2 \pmod{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ n ^{2} \equiv 0 \pmod{3}\\
n^{2} \equiv 1 \pmod{3} \\
n^{2} \equiv 4 \pmod{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ n ^{2}+1 \equiv 1 \pmod{3} \\
n^{2}+1 \equiv 2 \pmod{3} \\
n^{2}+1 \equiv 5 \pmod{3}}\)
Zatem nie istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n ^{2} +1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
Zad3) \(\displaystyle{ \left| BC\right|}\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 1, 4\sqrt{3}}\), więc \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \sqrt{1 ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}} = \sqrt{49}}\)
Zad 4) Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 99}\), czyli \(\displaystyle{ 99 \cdot 50}\). Skoro suma cyfr podzielna jest przez \(\displaystyle{ 9}\), to ta liczba także podzielna jest przez \(\displaystyle{ 9 \Rightarrow}\) reszta z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 9}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zad 5) \(\displaystyle{ y= \frac{x ^{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}=\left( \frac{x ^{5} }{2}\right) ^{3} = \frac{x ^{15}}{8} = 16x}\)
\(\displaystyle{ x ^{15}=128x \Rightarrow x ^{14}=128 \Rightarrow x \in Z}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ x}\) musi być równe \(\displaystyle{ 0}\). Skoro \(\displaystyle{ y=\frac{x ^{5} }{2}}\), to \(\displaystyle{ y=0}\), zatem jedyną dwójką \(\displaystyle{ x,y}\) spełniającą ten układ są \(\displaystyle{ x=0,y=0}\)
Zad 6)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } + \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }=\frac{1}{\frac{6+\sqrt{26} + 4+\sqrt{26}}{(4+ \sqrt{26})(6+\sqrt{26})}}= \frac{1}{ \frac{10+2\sqrt{26}}{50+10\sqrt{26}} } = \frac{1}{ \frac{2(5+ \sqrt{26}) }{10(5+ \sqrt{26})} } = \frac{1}{ \frac{1}{5} }= 5}\)
Zad 7)
Tutaj trochę blefowałem, bo nie wystarczyło mi czasu, dlatego nie wrzucam rozwiązania. Ale wyszło mi, że jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Poprawcie jeżeli nie.
Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
- SkitsVicious
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 23 sty 2018, o 10:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
Ostatnio zmieniony 14 maja 2018, o 18:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
Zadanie 1 - Bez zastrzeżeń.
Zadanie 2 - Dodałbym, że w trzecim przypadku \(\displaystyle{ n ^{2}+1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}}\), ale to tylko drobna uwaga, wszystko jest dobrze.
Zadanie 3 - Tak, i oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt {49}=7}\).
Zadanie 4 -
liczb*
Ale tak czy siak - tok myślenia dobry.
Zadanie 5 -
\(\displaystyle{ x^{15} - 128x = 0}\), więc \(\displaystyle{ x(x^{14} - 128) = 0}\) i stąd masz \(\displaystyle{ x=0 \vee x^{14} - 128=0}\). Przypadek \(\displaystyle{ x=0}\) rozwiązałeś.
Ogólnie:
Swoją drogą, błąd w poleceniu, że nie napisałeś, że \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\), czy w rozwiązaniu, że właśnie przyjąłeś, że \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\)? Mi się wydaje, że powinno być to w liczbach rzeczywistych. Wtedy powinieneś też rozwiązać przypadki \(\displaystyle{ x = \sqrt {2} \vee x = - \sqrt{2}}\).
Zadanie 6 - Bez zastrzeżeń.
Zadanie 7 - Tak, ten czworokąt to najzwyklejszy prostokąt! Jesli chodzi o pokazanie, że to jest prostokąt, to jest to czysty rachunek na kątach, wystarczy oznaczyć pewne dwa kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) i później przenieść je tak, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90^ \circ}\).
Zadanie 2 - Dodałbym, że w trzecim przypadku \(\displaystyle{ n ^{2}+1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}}\), ale to tylko drobna uwaga, wszystko jest dobrze.
Zadanie 3 - Tak, i oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt {49}=7}\).
Zadanie 4 -
Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr(...)
liczb*
Ale tak czy siak - tok myślenia dobry.
Zadanie 5 -
No niekoniecznie. Co jeśli \(\displaystyle{ x=0}\)? Wtedy dzielisz przez \(\displaystyle{ 0}\), a tak nie można, be. Zapewne tego nie napisałeś, ale chyba wiesz o tym, bo stwierdzasz później, że \(\displaystyle{ x=0}\). Ja na twoim miejscu przerzuciłbym wszystko na jedną stronę:\(\displaystyle{ x ^{15}=128x \Rightarrow x ^{14}=128}\)
\(\displaystyle{ x^{15} - 128x = 0}\), więc \(\displaystyle{ x(x^{14} - 128) = 0}\) i stąd masz \(\displaystyle{ x=0 \vee x^{14} - 128=0}\). Przypadek \(\displaystyle{ x=0}\) rozwiązałeś.
Ogólnie:
to jest blefem, powinieneś zapisać to inaczej, może tak: "\(\displaystyle{ x ^{14}=128 \Rightarrow |x| = \sqrt{2}}\), stąd wynika, że \(\displaystyle{ x}\) nie jest całkowite, więc nie istnieje takie \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\)".\(\displaystyle{ x ^{14}=128 \Rightarrow x \in Z}\)
Swoją drogą, błąd w poleceniu, że nie napisałeś, że \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\), czy w rozwiązaniu, że właśnie przyjąłeś, że \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\)? Mi się wydaje, że powinno być to w liczbach rzeczywistych. Wtedy powinieneś też rozwiązać przypadki \(\displaystyle{ x = \sqrt {2} \vee x = - \sqrt{2}}\).
Zadanie 6 - Bez zastrzeżeń.
Zadanie 7 - Tak, ten czworokąt to najzwyklejszy prostokąt! Jesli chodzi o pokazanie, że to jest prostokąt, to jest to czysty rachunek na kątach, wystarczy oznaczyć pewne dwa kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) i później przenieść je tak, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90^ \circ}\).
- SkitsVicious
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 23 sty 2018, o 10:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
W 3 zostawiłem \(\displaystyle{ \sqrt{49}}\), bo zadania musiałem robić naprawdę szybko i zapomniałem wyciągnąć. Zastanawiam się, czy mogą mi odjąć punkt za to.
Co do 4 to pisałem na szybko i mogłem pomylić słowa przy przepisywaniu. Tak czy inaczej chodziło o liczby.
W 5 chodziło o liczby rzeczywiste, nie wziąłem pod uwagę innych \(\displaystyle{ x}\) z powodu presji czasu. Czyli są jakieś inne rozwiązania poza \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?
Co do 4 to pisałem na szybko i mogłem pomylić słowa przy przepisywaniu. Tak czy inaczej chodziło o liczby.
W 5 chodziło o liczby rzeczywiste, nie wziąłem pod uwagę innych \(\displaystyle{ x}\) z powodu presji czasu. Czyli są jakieś inne rozwiązania poza \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Re: Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
Co do zadania 4, to moim zdaniem blef, bo piszesz
Załóżmy, że miałeś na myśli "suma liczb". Otóż nie masz racji. Suma cyfr tej liczby, to \(\displaystyle{ 900}\), natomiast suma, o której piszesz jest równa \(\displaystyle{ 99 \cdot 50 = 4950}\). Wynik owszem, dobry - uzasadnienie natomiast błędne.
.Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 99}\)
Załóżmy, że miałeś na myśli "suma liczb". Otóż nie masz racji. Suma cyfr tej liczby, to \(\displaystyle{ 900}\), natomiast suma, o której piszesz jest równa \(\displaystyle{ 99 \cdot 50 = 4950}\). Wynik owszem, dobry - uzasadnienie natomiast błędne.
- SkitsVicious
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 23 sty 2018, o 10:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
Faktycznie, ale nie był to blef bo na sali myślałem, że to dobre uzasadnienie. Zajmując się pierwszymi cyframi w tej liczbie tj. \(\displaystyle{ 12345...}\) kompletnie nie przeszła mi taka banalna myśl przez głowę, że powyżej 10 zaczyna się komplikacja i nie jest to suma kolejnych liczb naturalnych.enedil pisze:Co do zadania 4, to moim zdaniem blef, bo piszesz
.Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 99}\)
Załóżmy, że miałeś na myśli "suma liczb". Otóż nie masz racji. Suma cyfr tej liczby, to \(\displaystyle{ 900}\), natomiast suma, o której piszesz jest równa \(\displaystyle{ 99 \cdot 50 = 4950}\). Wynik owszem, dobry - uzasadnienie natomiast błędne.