Zwartość zbioru Cantora

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Zwartość zbioru Cantora

Post autor: Tomasz22 »

Jak można udowodnić, że zbiór Cantora jest zwarty korzystając z definicji przeliczalnej, ciągowej albo/i pokryciowej zwartości, aby nie musieć wprowadzać twierdzenia, że zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych ma niepuste przecięcie? Tak, wiem. To najprościej tłumaczy zwartość tego zbioru, ale tutaj problem jest taki, że pamiętam treść tego twierdzenia (przynajmniej tak z grubsza, więc jeśli jest jakiś błąd w stwierdzeniu jak np. Powinno być "Jeśli" zamiast "wtedy i tylko wtedy, gdy", to oczywiście poproszę o poprawienie), ale okropnie trudno mi zapamiętać dowód a jakbym go użył na obronie, to mogą się o dowód zapytać.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zwartość zbioru Cantora

Post autor: Janusz Tracz »

Jako, że zwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\) to dokładnie te które są ograniczone i domknięte to też jedynie to wystarczy pokazać. Ograniczoność jest oczywista. Domkniętość niewiele trudniejsza wszak dowolny przekrój zbiorów domkniętych jest domknięty co jest dualną własnością topologii głoszącą, że dowlna suma zbiorów otwartych jest otwarta.

PS nie odniosłem się bezpośrednio do definicji bo jakoś tak było łatwiej. Ale jeśli masz ciąg o wartościach w ograniczonym zbiorze zwartym to istnieje łatwa procedura wyszukiwania podciągu zbieżnego. Wystarczy taki zbiór dzielić na dwa kawały i sprawdzać do którego z nich wpada nieskończenie wiele wyrazów ciągu dbając przy tym aby średnica tych kawałków dążyła do zera.

PPS A pokryciowo jest zwarty bo w p. metrycznych jest to pojęcie równoważne zwartości ciągowej.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Zwartość zbioru Cantora

Post autor: Tomasz22 »

No dobrze, ograniczoność wiem. Bo wywodzi się z ograniczonego przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) i po prostu po podzieleniu na trzy części za każdym razem pozostałych fragmentów i wyrzuceniu środkowej dalej jest ograniczony. Nie bardzo rozumiem natomiast dlaczego jest domknięty. Przecież już w pierwszym kroku, czyli po podzieleniu przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) na trzy części i wyrzuceniu środkowej z nich mamy jeden zbiór lewostronnie domknięty, prawostronnie otwarty a drugi odwrotnie
Ostatnio zmieniony 3 cze 2023, o 22:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zwartość zbioru Cantora

Post autor: Janusz Tracz »

Tomasz22 pisze: 3 cze 2023, o 18:57 Przecież już w pierwszym kroku, czyli po podzieleniu przedziału [0,1] na trzy części i wyrzuceniu środkowej z nich mamy jeden zbiór lewostronnie domknięty, prawostronnie otwarty a drugi odwrotnie
Nieprawda. Wycinamy ze środka zbiór otwarty więc dostaniemy na każdym korku zbiór domknięty (sumę przedziałów domkniętych) zobacz konstrukcję:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set#Construction_and_formula_of_the_ternary_set
Construction and formula of the ternary set
Nie trzeba tego wiedzieć by pokazać zwartość ale jako ciekawostkę można, mianowicie, istnieje jawna reprezentacja

\(\displaystyle{ {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right).}\)

Wewnętrzna duża suma jest skończoną sumą zbiorów domkniętych więc jest zbiorem domkniętym, a przekrój nawet nieskończony i tak zachowa domkniętość.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Zwartość zbioru Cantora

Post autor: Tomasz22 »

I od razu życie stało się prostsze jak sprostowałeś, że wycinamy przedział obustronnie otwarty, czyli zbiór otwarty Dzięki wielkie!
ODPOWIEDZ