Matematyka.pl

Kilka (raczej luźno powiązanych) podstawowych wyników chyba zazwyczaj nie pojawiających się na kursach wprowadzających do topologii.

Wszędzie poniżej przestrzeń zwarta jest z założenia Hausdorffa.

1. Wykazać, że przestrzeń topologiczna Hausdorffa \(\displaystyle{ X}\) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \pi_{Y}:X\times Y\ni (x,y) \mapsto y\in Y}\) jest odwzorowaniem domkniętym dla każdej przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\).

2. Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą przestrzeniami topologicznymi, \(\displaystyle{ X}\) zwartą, \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) odwzorowaniem ilorazowym. Wykazać równoważność warunków:
(i) \(\displaystyle{ Y}\) jest Hausdorffa,
(ii) \(\displaystyle{ f}\) jest domknięte,
(iii) Relacja \(\displaystyle{ R_{f} = \{(x_{1},x_{2})\in X\times X\ : f(x_{1}) = f(x_{2})\}}\) jest domknięta w \(\displaystyle{ X\times X}\).
(Odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) między przestrzeniami topologicznymi nazywamy ilorazowym, gdy jest surjekcją ciągłą i zachodzi warunek:
\(\displaystyle{ \forall_{G\subset Y} \ G\text{ otwarty w } Y\iff f^{-1}(G) \text{ otwarty w } X}\) ).

3. Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą przestrzeniami topologicznymi, \(\displaystyle{ X}\) Hausdorffa, \(\displaystyle{ Y}\) lokalnie zwartą, \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) ciągłe. Wykazać równoważność warunków:
(i) \(\displaystyle{ \forall_{K\subset Y \text{ zwarty}} \ f^{-1}(K) \text{ zwarty,}}\)
(ii) \(\displaystyle{ f\text { domknięte i }\forall_{y\in Y} \ f^{-1}(\{y\}) \text{ zwarty,}}\)
(iii) \(\displaystyle{ \forall_{Z \text{ przestrzeń topologiczna}}\ f\times \text{id}_{Z}: X\times Z\ni (x,z)\mapsto (f(x),z)\in Y\times Z \text{ domknięte.}}\)
(Odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) nazywamy w takiej sytuacji właściwym).

4. Niech \(\displaystyle{ E,X}\) będą lokalnie zwartymi przestrzeniami topologicznymi, \(\displaystyle{ p:E\to X}\) ciągła surjekcja. Pokazać, że:
\(\displaystyle{ p:E\to X \text{ nakrycie skończone}\iff p \text{ lokalny homeomorfizm i odwzorowanie właściwe.}}\)

5. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ E,X}\) przestrzenie topologiczne, \(\displaystyle{ p:E\to X}\) nakrycie i \(\displaystyle{ E}\) Hausdorffa, to \(\displaystyle{ X}\) nie musi być Hausdorffa.

Z czwartym chyba jest coś nie tak (to nakrycie pewnie powinno mieć skończoną krotność), bo inaczej bierzemy odwzorowanie
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow S^{1}}\)
dane wzorem \(\displaystyle{ f(x) = e^{2\pi i x}}\), które oczywiście jest nakryciem, a przeciwobraz dowolnego punktu jest kopią liczb całkowitych, a więc zbiorem niezwartym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Oczywiście masz rację, teraz jest prawdziwe. Dzięki za wyłapanie błędu.

I teraz jest to oczywiste.
W prawo na przykład tak: bycie lokalnym homeomorfizmem jest jasne. Teraz weźmy w \(\displaystyle{ X}\) jakiś zbiór zwarty i dla każdego jego punktu weźmy otoczenie o zwartym domknięciu (z definicji nakrycia) takie, że przeciwobraz jest skończoną sumą homeomorficznych kopii takiego otoczenia. Wybierzemy standardowo skończone podpokrycie i widać, że przeciwobraz wybranego zwartego zbioru leży w skończonej sumie otwartych zbiorów o zwartym domknięciu, a więc również w pewnym zbiorze zwartym. A skoro jest domknięty, to i zwarty (chyba sobie założyłem, że są Hausdorffa, jeśli nie można, to pomyślę jeszcze).
W lewo chyba nie ma się w ogóle z czego tłumaczyć.

Lokalnie zwarta przestrzeń jest dla mnie Hausdorffa.
Mi się wydaje, że w lewo jest właśnie troszkę trudniej:)

Faktycznie.
No to może powiem, jak się robi pierwsze. W tę prostszą stronę: weźmy zbiór A domknięty w \(\displaystyle{ X\times Y}\) i rozważmy jego rzut \(\displaystyle{ p(A)}\) na Y. Niech \(\displaystyle{ x}\) do niego nie należy, wówczas \(\displaystyle{ B=X\times \{x\}}\) jest rozłączne z A. Dla każdego punktu z B weźmy jego otoczenie bazowe rozłączne z A i wybierzmy skończone podpokrycie; wtedy przecięcie rzutów tych otoczeń na Y jest otoczeniem x (bo rzuty są otwarte) rozłącznym z \(\displaystyle{ p(A)}\); warto to sobie narysować. W drugą stronę podam tylko ideę: istnienie pokrycia i własność Hausdorffa pozwalają wyprodukować w X przeliczalną podprzestrzeń dyskretną \(\displaystyle{ A=\{a_{n}: n\in \mathbb{N}\}}\). Wówczas zbiór \(\displaystyle{ \{(a_{n}, \frac{1}{n}): n\in \mathbb{N}\}}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ X\times [0,1]}\), a jego rzut na \(\displaystyle{ [0,1]}\) nie jest domknięty.
Nawiasem mówiąc, ten fakt nazywa się chyba twierdzeniem Kuratowskiego.

Coś jeszcze wiemy o tej podprzestrzeni dyskretnej?
Trochę niepokojący jest fakt, że w \(\displaystyle{ [0,1]}\) zbiór wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \{\tfrac{1}{n}\}_{n\in \mathbb{N}}}\) tworzy podprzestrzeń dyskretną...

No domknięta będzie. Jak sobie przypomnę szczegóły, to może napiszę pełne rozwiązanie.

Wybacz podejrzliwość, ale podejrzewam, że to musi być trochę inaczej, bo nie każda przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta zawiera domkniętą nieskończoną podprzestrzeń dyskretną.
Np jeśli weźmiemy przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągowo zwarta i nie jest zwarta - gdyby istniała w niej taka podprzestrzeń, to dostajemy sprzeczność biorąc różnowartościowy ciąg o wyrazach w tej przestrzeni, gdyż musiałby on mieć podciąg zbieżny, a w dowolnej przestrzeni topologicznej granica ciągu o wyrazach w pewnym ustalonym zbiorze należy do domknięcia tego zbioru.

Faktycznie nie wygląda to najlepiej, choć jestem przekonany, że na topologii robiliśmy to właśnie w ten sposób. Niemniej jednak postaram się, żeby moja ewentualna następna wypowiedź w tym temacie nie była kolejną ściemą.