Matematyka.pl

Jakub Gurak pisze: 16 lis 2024, o 21:34Przypomnijmy, w przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) łuk (albo, jak kto woli: droga) łącząca punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in X,}\) jest to dowolna funkcja ciągła \(\displaystyle{ \alpha :\left[ 0,1\right] \rightarrow X}\), taka, że \(\displaystyle{ \alpha \left( 0\right)=x}\) i \(\displaystyle{ \alpha \left( 1\right)=y}\).

Łuk i droga to dwie różne rzeczy. A powyżej jest definicja drogi.

JK

Racja- droga może mieć taki sam początek i koniec, a łuk nie... I droga może przecinąć się sama ze sobą, a łuk chyba nie...
Zastanawia mnie czy zachodzi twierdzenie analogiczne do twierdzenia 11.2.12 z książki Ryszarda Engelkinga i Karola Siekluckiego 'Geometria i topologia, Część II, Topologia' dla zbiorów domkniętych. Tzn.:
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{m} }\) (dla ustalonego numeru \(\displaystyle{ m=1,2,3}\) -w przestrzenie cztero- i więcej-wymiarowe nie wchodzę) są homeomorficzne, to \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty??
(Nie widzę jak zastosować odpowiedni fakt dla zbiorów otwartych; wszak, dla dwóch zbiorów otwartych \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) homeomorficznych ich dopełnienia nie muszą być homeomorficzne (wystarczy wziąć np. \(\displaystyle{ A=\RR}\), \(\displaystyle{ B=\left( a,b\right) \subset \RR, }\) gdzie \(\displaystyle{ a<b;}\) wtedy zbiory domknięte \(\displaystyle{ \left\{ \right\} =\RR'}\) i \(\displaystyle{ \left( - \infty , a\right] \cup \left[ b,+ \infty \right) =\left( a,b\right)' }\) nie są homeomorficzne, gdyż rozróżnia je własność niespójności).

Jakub Gurak pisze: 19 lis 2024, o 12:28 Racja- droga może mieć taki sam początek i koniec, a łuk nie... I droga może przecinąć się sama ze sobą, a łuk chyba nie...

Droga to ciągły obraz odcinka, a łuk to homeomorficzny obraz odcinka.

JK

Jakub Gurak pisze: 19 lis 2024, o 12:28
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{m} }\) (dla ustalonego numeru \(\displaystyle{ m=1,2,3}\) -w przestrzenie cztero- i więcej-wymiarowe nie wchodzę) są homeomorficzne, to \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty??

Weż \(\displaystyle{ A=\RR}\) oraz \(\displaystyle{ B=(0,1)}\).

-dzięki, nie wpadłem na to.

Ostatnio wykonałem zadanie (patrz książkę 'Geometria i topologia, Część II, Topologia' Ryszarda Engelkinga i Karola Siekluckiego, str. 105, 10.Z.11) dowodząc, że jeśli mamy dwie podprzestrzenie \(\displaystyle{ X,Y \subset \RR ^{2} }\) łukowo spójne o niepustym przecięciu, to ich suma jest łukowo-spójna (będzie można ten fakt uogólnić na dowolną skończoną ilość zbiorów łukowo spójnych o niepustym przecięciu). Dzisiaj znalazłem też przykład dwóch zbiorów łukowo spójnych \(\displaystyle{ X,Y \subset \RR^2}\), takich, że ich przekrój nie jest łukowo spójny. Jednak dzisiaj wykazałem, że jeśli mamy dwie podprzestrzenie \(\displaystyle{ X,Y \subset \RR}\) łukowo spójne o niepustym przecięciu, to te przecięcie jest łukowo spójne. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych zadań, a potem może o coś jeszcze spytam.

Niech zbiory \(\displaystyle{ X,Y \subset \RR^2}\) będą łukowo spojne, przy czym załóżmy, że te dwa zbiory się przecinają. Wykażemy, że ich suma \(\displaystyle{ X \cup Y}\) jest łukowo spójna.
DOWÓD TEGO FAKTU:
W tym celu, niech \(\displaystyle{ x,y \in X \cup Y.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x,y \in X}\), to ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią łukowo spójną, to punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) można połaczyć drogą \(\displaystyle{ \overline{xy} \subset X \subset X \cup Y.}\)
Podobnie jest gdy \(\displaystyle{ x,y \in Y.}\)
Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ y \in Y}\), to niech \(\displaystyle{ z \in X \cap Y \neq \left\{ \right\}}\) .Wtedy \(\displaystyle{ z \in X}\) i \(\displaystyle{ x \in X}\), więc z łukowej spójności \(\displaystyle{ X,}\) dostajemy, że punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) można połączyć drogą \(\displaystyle{ \overline{xz} \subset X}\). Podobnie, punkty \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) można połączyć drogą \(\displaystyle{ \overline{zy} \subset Y}\). Wtedy złączenie tych dróg, tzn. suma (mogę to, w razie czego, uściślić) \(\displaystyle{ \overline{xz} \cup \overline{zy} \subset X \cup Y}\) jest drogą z \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ y}\).
Podobnie jest gdy \(\displaystyle{ y \in X}\) i \(\displaystyle{ x \in Y. \square}\)
Może spróbuje uogólnić to zadanie na przypadek dowolnej (skończonej) ilości zbiorów łukowo spójnych o niepustym przecięciu.
Natomiast przekrój dwóch zbiorów \(\displaystyle{ X,Y \subset \RR^2}\) łukowo spójnych nie musi być łukowo spójny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{S}}\) oznacza okrąg jednostkowy o środku w poczatku układu i o promieniu \(\displaystyle{ 1;}\) i niech:
\(\displaystyle{ X:= \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{S}: \ x \le 0 \right\} ,}\) i
\(\displaystyle{ Y:=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{S}: \ x \ge 0\right\} .}\)
Jest to lewa i prawa połowa takiego okręgu (wraz z końcami).
Wtedy są to zbiory łukowo spójne, bo dowolne dwa punkty jednej z takich połówek okręgu możemy połączyć poruszając się wzdłuż tej połówki okregu, podczas gdy ich przecięcie \(\displaystyle{ X \cap Y=\left\{ \left( 0,-1\right); \left( 0,1\right) \right\}}\) nie jest łukowo spójne, bo nie sposób połączyć tych dwóch punktów drogą (bo ma ona być podzbiorem takiego przecięcia)\(\displaystyle{ .\square}\)
Jednak wykażemy, że jesli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X,Y \subset \RR}\) łukowo spójne o niepustym przecięciu, to te przecięcie jest łukowo spójne.
DOWÓD TEGO FAKTU: \(\displaystyle{ }\)
Jeśli przekrój \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest jednoelementowy o elemencie \(\displaystyle{ a}\), to stała funkcja \(\displaystyle{ f}\) okreslona na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\), stale równa \(\displaystyle{ a}\) jest ciągła (można to łatwo sprawdzić z definicji Heinego ciągłości funkcji), i mamy \(\displaystyle{ f\left( 0\right) = a= f\left( 1\right)}\), jak trzeba.
Jeśli zaś przecięcie \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest co najmniej dwuelementowe, to zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), jako łukowo spójne, są również spójne, a ponieważ są podzbiorami \(\displaystyle{ \RR}\), więc muszą to być przedziały. A wtedy ich przekrój \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest oczywiście przedziałem. A w przedziale każde dwa elementy można połączyć drogą, bo odcinek \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) jest homeomorficzny z dowolnym ustalonym odcinkiem \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b;}\), a więc przedziały w \(\displaystyle{ \RR}\) muszą być łukowo spójne, i przekrój \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest łukowo spójny\(\displaystyle{ .\square}\)
Zapytam teraz, bo dość mnie to zdziwiło dziś, że podobno można znaleźć (patrz powyższą książkę, str. 272, 13.Z.28), pewną podprzestrzeń ( spójną) płaszczyny, którą można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu rozłącznych zbiorów domkniętych. Jak to zrobić
I mam pytanie:
Czy koło otwarte jest homeomorficzne z całą płaszczyną, i jak to uzasadnić?? Wiem tylko, że odcinek \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \subset \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \RR}\)... A może tak: Skoro odcinek \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \RR}\), to może dla jednoskowego koła otwartego o środku w początku układu i o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), łączymy wtedy każdy punkt okręgu koła z jego środkiem, i przekształcamy taki odcinek na półprostą będącą jego przedłużeniem, może ... w ten sposób?? I czy kula otwarta jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ \RR^3}\)??
Na koniec dodam taką poglądową ilustrację dotyczącą tego, że kratownica \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) jest zbiorem przeliczalnym. Numerujemy ją następująco: na poczatek bierzemy początek układu, a potem łączymy wierzchołki poniższych, coraz to bardziej zewnętrznych, rombów: \(\displaystyle{ \\}\)

Niestety (za wczoraj, to trochę mi tu szkoda czasu, że nie poświęciłem go na np. rozwiązywanie zagadnienia czterech barw, w ogólnym przypadku powstają tutaj trudności, ale zamierzam dalej tu próbować; natomiast wczoraj przez całe popołudnie (bo jakoś skosztowałem tego jeszcze dzień wcześniej) aż do w pół do pierwszej w nocy (nie patrzyłem na zegarek) rozwiązywałem taki pewien problem, jednak dzisiaj przed obiadem rozstrzygnąłem, że ten fakt niestety nie musi zachodzić -w nocy głowa kiepsko myśli), i okazuje się, że jeśli mamy dwa rozłączne podzbiory płaszczyzny \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), oraz jeśli mamy dwie przegródki pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to ich przekrój nie musi być przegródką pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B.}\) Wczoraj na dobranoc udowodniłem również, że jeśli mamy dwa rozłączne zbiory niespójne \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), to ich suma jest zbiorem niespójnym. Przedstawię teraz dowody tych ekscytujących faktów, a potem może jeszcze o coś spytam.

Przypomnijmy:
W przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right), }\) dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X,}\) zbiór \(\displaystyle{ C \subset X}\) nazywamy przegródką pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), gdy dla pewnych rozłącznych zbiorów otwartych \(\displaystyle{ U,V \subset X}\) mamy: \(\displaystyle{ A \subset U}\), \(\displaystyle{ B \subset V}\) i \(\displaystyle{ C=\left( U \cup V\right)'.}\)
Aby to objaśnić, to:
Jeśli mamy dwa (rozłączne) zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to powiększamy je w jakikolwiek sposób do (rozłącznych) zbiorów otwartych \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\); wtedy ich suma jest zbiorem otwartym, a więc dopełnienie takiej sumy jest zbiorem domkniętym; i wtedy takie dopełnienie nazywamy przegródką pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Najlepiej widać to dla dwóch (rozłącznych) zbiorów otwartych \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2}}\) -wtedy nie musimy (w sposób istotny) powiększać ich do zbiorów otwartych (bo zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) już są otwarte, więc bierzemy tutaj po prostu \(\displaystyle{ U:=A}\), \(\displaystyle{ V:=B}\)), wtedy ich suma jest otwarta, a więc dopełnienie takiej sumy jest zbiorem domkniętym, i widać, że to dopełnienie 'odgradza' te dwa zbiory otwarte w środku, stąd takie dopełnienie jest przegródką pomiędzy tymi zbiorami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Z tej definicji wynika też, że przegródka jest zawsze zbiorem domkniętym (wszak słowo 'przegroda' kojarzy się z tym, że powinny być to części wraz z brzegiem, czyli zbiory domknięte), i taka przegródka 'odgradza' zbiory otwarte \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Podamy teraz przykład dwóch podzbiorów płaszczyzny \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz dwóch przegródek \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), takich, że ich przekrój \(\displaystyle{ X \cap Y}\) nie jest przegródką pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Niech:
\(\displaystyle{ A:=\left[ -1,1\right] \times \left[ -1,1\right],}\) i:
\(\displaystyle{ B:=\left[ 8,10\right] \times \left[ -1,1\right];}\)
i niech:
\(\displaystyle{ U_1:= \left( -4,4\right) \times \left( -4,4\right),}\) i:
\(\displaystyle{ V _{1}:= \left( 7,11\right) \times \left( -2,2\right);}\)
i niech:
\(\displaystyle{ U_2:=\left( -2,2\right) \times \left( -2,2\right),}\) i:
\(\displaystyle{ V_2:=\left( 3,15\right) \times \left( -4,4\right) ; }\)
oraz niech:
\(\displaystyle{ X:=\left( U_1 \cup V_1\right)',}\) i:
\(\displaystyle{ Y:=\left( U_2 \cup V_2\right)'.}\)
Wtedy, jak łatwo jest sprawdzić: \(\displaystyle{ X}\) jest przegródką pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\); podobnie: \(\displaystyle{ Y}\) jest przegródką pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B;}\) podczas gdy ich przekrój:
\(\displaystyle{ X \cap Y= \left( U_1 \cup V_1\right)' \cap \left( U_2 \cup V_2\right)'=\left( U_1 \cup V_1 \cup U_2 \cup V_2\right)'= \left[ \left( -4,15\right) \times \left( -4,4\right) \right]'; }\)
nie jest przegródką pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B;}\) bo, w przeciwnym razie, na mocy definicji przegródki, jego dopełnienie \(\displaystyle{ \left( X \cap Y\right) '=\left( -4,15\right) \times \left( -4,4\right)}\) dałoby się przedstawić jako suma dwóch otwartych, rozłącznych i niepustych (bo wtedy \(\displaystyle{ U\supset A \neq \left\{ \right\}}\) i \(\displaystyle{ V\supset B \neq \left\{ \right\}}\)) podzbiorów płaszczyny \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\), a stąd zbiór \(\displaystyle{ \left( X \cap Y\right) '=\left( -4,15\right) \times \left( -4,4\right)}\) byłby niespójny- sprzeczność. Wobec czego przekrój \(\displaystyle{ \left( X \cap Y\right)}\) nie jest przegródką pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) niestety\(\displaystyle{ .\square}\) Trzeba będzie jeszcze sprawdzić czy suma dwóch przegródek pomiędzy dwoma danymi zbiorami na płaszczyźnię, czy suma jest przegródką pomiędzy tymi dwoma danymi zbiorami...
Wykażemy jeszcze, że jeśli mamy dwa rozłączne niespójne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), to ich suma jest zbiorem niespójnym. Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Z definicji niespójności otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A=A_1 \cup A_2;}\)
gdzie zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2 \subset \RR}\) są otwarte, rozłączne i niepuste.
I podobnie:
\(\displaystyle{ B= B_1 \cup B_2;}\)
gdzie zbiory \(\displaystyle{ B_1,B_2 \subset \RR}\) są takie jak zbiory powyżej.
Wtedy:
\(\displaystyle{ A \cup B= \left( A_1 \cup A_2\right) \cup \left( B_1 \cup B_2\right),}\)
gdzie zbiór \(\displaystyle{ A}\), jako suma dwóch zbiorów otwartych jest otwarty (mamy \(\displaystyle{ A \subset A \cup B}\)); i, podobnie: zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest otwarty; zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) z założenia są rozłączne, a ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) są niepuste, to zbiór \(\displaystyle{ A=A_1 \cup A_2}\) jest niepusty; i w podobny sposób uzasadniamy, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty; a stąd suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zbiorem niespójnym\(\displaystyle{ .\square }\)
Odnośnie niespójności, to mam takie pytanie:
Zastanawia mnie czy zbiór \(\displaystyle{ \left( 0, 2\sqrt{2} \right) \cap \QQ}\) jest spójny czy jest niespójny.
Uzasadnię, że jest niespójny:
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( 0,2 \sqrt{2} \right) \cap \QQ\stackrel{ \sqrt{2}\not\in \QQ }{=} \left( \left( 0, \sqrt{2} \right) \cap \QQ\right) \cup \left( \left( \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} \right) \cap \QQ\right); }\)
gdzie \(\displaystyle{ \left( 0, \sqrt{2} \right) \cap \left( \left( 0,2 \sqrt{2} \right) \cap \QQ \right)= \left( 0, \sqrt{2} \right) \cap \QQ}\), a zatem jest to zbiór otwarty w podprzestrzni \(\displaystyle{ \left( 0, 2 \sqrt{2} \right) \cap \QQ}\), w podobny sposób zbiór \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} \right) \cap \QQ}\) jest otwarty w tej podprzestrzeni, i \(\displaystyle{ 1 \in \left( 0, \sqrt{2} \right) \cap \QQ}\), \(\displaystyle{ 2 \in \left( \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} \right) \cap \QQ}\), a więc są to zbiory niepuste, ponadto są one rozłaczne, a zatem zbiór \(\displaystyle{ \left( 0, 2\sqrt{2} \right) \cap \QQ}\) jest niespójny. Dobrze
W sumie to to zgadza się z takim faktem, mówiącym, że jedynymi zbiorami spójnymi na prostej liczb rzeczywistych są przedziały. No ale skoro tak, to idąc dalej tym tropem, otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \cap \QQ}\) jest niespójny, podobnie: zbiór wszystkich liczb niewymiernych z odcinka \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) jest niespójny, ponadto są to zbiory rozłaczne, bo liczba \(\displaystyle{ x \in \left( 0,1\right)}\) nie może być jednocześnie wymierna i niewymierna; a zatem, na mocy udowodnionego przeze mnie faktu, suma \(\displaystyle{ \left[ \left( 0,1\right) \cap \QQ\right] \cup \left[ \left( 0,1\right) \cap \left( \RR \setminus \QQ\right) \right]= \left( 0,1\right)}\), jako suma dwóch rozłącznych zbiorów niespójnych, jest zbiorem niespójnym- gdzie jest błąd

Dodano po 1 godzinie 2 minutach 13 sekundach:
Już chyba wiem, zapomniałem o podstawowej intuicji:

Jakub Gurak pisze: 21 gru 2024, o 19:11 jeśli mamy dwa rozłączne zbiory niespójne \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), to ich suma jest zbiorem niespójnym.

Powinno być:
Jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) rozłączne, niespójne i otwarte, to ich suma jest zbiorem niespójnym (i otwartym). Jest to dość oczywisty fakt. Bez otwartości ten fakt nie działa o czym świadczy przykład z liczbami wymiernymi i niewymiernymi z odcinka \(\displaystyle{ \left( 0,1\right). }\)