Przypomnijmy zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) nazywamy zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy spełniona jest implikacja:
\(\displaystyle{ x \in A \Longrightarrow \left( -x\right) \in A.}\)
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.
Łatwo jest zauważyć i udowodnić, że suma dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) oraz przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\).
Przejdźmy do naszego zadania:
W zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\) rozważmy rodzinę podzbiorów:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ A \subset \RR\Bigl| \ A \hbox{ jest zbiorem symetrycznym względem } 0\right\}.}\)
Wykażemy, że jest to topologia na \(\displaystyle{ \RR}\).
W zasadzie należy pokazać, że suma rodziny zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), reszta jest prosta.
W tym celu niech \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset \mathbb{B}}\). Wykażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \in \mathbb{B}. }\)
Niewątpliwie \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \subset \RR}\)- jest to suma podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR}\).
Aby wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} }\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), to niech \(\displaystyle{ x \in \bigcup\mathbb{A}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x\in A}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset \mathbb{B},}\) więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), więc również \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in A}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), a więc \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in \bigcup\mathbb{A}}\), i zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \in \mathbb{B}.}\)
Przekrój dwóch zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest w rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), gdyż, na mocy przytoczonego faktu, przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\).
Łatwo jest zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc ponieważ dopełnienie zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) (mogę to udowodnić), więc również zbiór pusty \(\displaystyle{ \emptyset =\RR ^{'}}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\).
A więc \(\displaystyle{ \left( \RR, \mathbb{B}\right) }\) jest przestrzenią topologiczną.\(\displaystyle{ \square}\)
Możemy też wykazać łatwo, że przekrój niepustej rodziny zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{A}\subset \mathbb{B} }\). Aby wykazać, że przekrój \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), to zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}= \left( \left( \bigcap\mathbb{A}\right)' \right)'= \left( \bigcup_{A\in \mathbb{A}} A'\right) '= }\)
i teraz zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A} \subset \mathbb{B}}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również jego dopełnienie jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A' }\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \left\{ A': \ A \in\mathbb{A} \right\} \subset \mathbb{B},}\)
a zatem, na mocy faktu udowodnionego powyżej: zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{A \in \mathbb{A}}A' }\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również jego dopełnienie jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), co oznacza, że również zbiór \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}}\), jako ten sam zbiór, jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.\square}\)
A więc zbiory symetryczne względem \(\displaystyle{ 0}\) są zamknięte na wszystkie działania mnogościowe, tzn. na sumę dwóch zbiorów, przekrój dwóch zbiorów, różnicę dwóch zbiorów, dopełnienie zbioru i różnicę symetryczną dwóch zbiorów, a także na sumy uogólnione i przekroje uogólnione.
Z tych zadań z topologii najbardziej zainrteresował mnie poniższy problem:
Niech \(\displaystyle{ \left( X,T _{X}\right) }\) będzie przestrzenią topologiczną. Rozważmy dwa podzbiory spójne \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), dwa zbiory spójne, które się krzyżują (tzn. takie, że wszystkie trzy składowe na diagramie Venna są zbiorami niepustymi); a formalnie \(\displaystyle{ A\not \subset B }\) i \(\displaystyle{ B\not \subset A}\), pierwszy zbiór nie zawiera się w drugim i drugi nie zawiera się w pierwszym; i chciałem pokazać, że różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest zbiorem spójnym niepustym.
Niestety, nie musi tak być:
DOWÓD TEGO FAKTU::
Niestety, wysiadłem już przy poprzednim zadaniu, więc nie wiem, wie ktoś??
I jeszcze jedno zadanie, którego nie rozwiązałem.
Rozważmy dwie przestrzenie topologiczne \(\displaystyle{ \left( X,\mathcal{T}_X\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( Y, \mathcal{T}_Y\right) .}\) Czy w zbiorze \(\displaystyle{ X \cap Y}\) rodzina:
\(\displaystyle{ \mathcal{T} _{X \cap Y}= \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ A \in \mathcal{T}_X, B \in \mathcal{T}_Y \right\} = \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ \left( A,B\right) \in \mathcal{T}_X \times \mathcal{T}_Y \right\} ,}\)
jest topologią na \(\displaystyle{ X \cap Y}\)??
Warunku z sumą mnogościową nie udało się udowodnić, kontrprzykładu też nie znalazłem, także nie wiem. Wie ktoś?
