Matematyka.pl

Wygląda na to, że macie rację.
Myślałem (też mnie zdziwiło to zadanie), i pomyślałem, że jego szczególnym przypadkiem jest powyższe zadanie.
Może zacytuję dokładną treść tego zadania z książki:

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą przestrzeniami Hausdorffa . Pokazać, że wykres przekształcenia \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y,}\) tj. zbiór par \(\displaystyle{ \left( x, f\left( x\right) \right) }\) jest podzbiorem domkniętym iloczynu \(\displaystyle{ X \times Y.}\) Czy domkniętość wykresu implikuje ciągłość przekształcenia?

Pomyślałem, że można wziąć w szczególności \(\displaystyle{ X=Y=\RR}\)- zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią jest przestrzenią \(\displaystyle{ T _{4} }\), w szczególności jest przestrzenią \(\displaystyle{ T_2}\), i pomyślałem, że stąd wynika moje zadanie.

Czasami mam wątpliwości, czy przez przekształcenie rozumieją dowolną funkcję między dwoma przestrzeniami topologicznymi, czy może rozumieją tutaj
przez to dowolną funkcję ciągłą; ale skoro w drugiej części pytają o ciągłość, to to oznacza, że nie zakładają tego z automatu (bo o to pytają). Chyba, że w pierwszej części, założyli to, a zapomnieli o tym napisać- oj ta niekonsekwencja.

Ktoś potrafi sprawę wyjaśnić

Toż w końcu masz wykształcenie matematyczne. Sam potrafisz znaleźć trywialne kontrprzykłady.

Zastanawiało mnie, jakie podzbiory płaszczyzny są zbiorami domkniętymi na płaszczyźnie, ale wpierw trzeba wiedzieć jakie podzbiory prostej liczb rzeczywistych są zbiorami domkniętymi na prostej.

I teraz zastanawiam się, czy zbiór liczb całkowitych jest domknięty na prostej??

No nie wiem, wiem tylko, że każdy jednopunktowy podzbiór prostej jest domknięty na prostej, ale suma przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym, więc nie wiem.

Chyba, żeby sprawdzić, czy jego dopełnienie, do zbioru \(\displaystyle{ \RR,}\) jest zbiorem otwartym; więc może tak:

\(\displaystyle{ \RR \setminus \ZZ= \bigcup_{n \in \ZZ} \left( n, n+1\right), }\)

i, takie dopełnienie, jako suma przedziałów otwartych długości \(\displaystyle{ 1>0}\), a więc suma zbiorów otwartych, jest zbiorem otwartym, a więc zbiór \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest zbiorem domkniętym, dobrze


I, ciekawe jest jeszcze, czy zbiór liczb naturalnych jest zbiorem domkniętym na prostej, i czy zbiór liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem jest zbiorem domkniętym na prostej.

Hm..., jeśli to jest dobrze, to zbiór liczb nieujemnych, oznaczmy go jako \(\displaystyle{ B,}\) jest zbiorem domkniętym, bo jego dopełnienie do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)- zbiór liczb ujemnych, jest zbiorem otwartym, więc zbiór \(\displaystyle{ B }\) jest domknięty, a zatem zbiór liczb naturalnych :

\(\displaystyle{ \NN=\ZZ \cap B,}\)

jako przekrój dwóch zbiorów domkniętych, jest domknięty.

I, podobnie, zbiór liczb ujemnych wraz z zerem, oznaczmy go jako \(\displaystyle{ B,}\) jest zbiorem domkniętym, bo jego dopełnienie do całej prostej, zbiór liczb dodatnich, jest zbiorem otwartym, a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty, a zatem zbiór liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem:

\(\displaystyle{ \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\}= \ZZ \cap B, }\)

jako przekrój dwóch zbiorów domkniętych, jest domknięty.

Chyba dobrze

I tak, taka matematyka mnie kręci najbardziej, analiza funkcjonalna jest zupełnie nieinteresująca.

Przeczytaj powieść "Kwiaty dla Algernona" Daniela Keyesa

Jakub Gurak pisze: ↑23 cze 2023, o 19:44Chyba dobrze

a4karo pisze: ↑21 cze 2023, o 11:24 Toż w końcu masz wykształcenie matematyczne.

JK

a4karo pisze: ↑23 cze 2023, o 19:48 Przeczytaj powieść "Kwiaty dla Algernona" Daniela Keyesa

Muszę wypożyczyć, zapowiada się ciekawie.

Sprawdziłem przedwczoraj, i się zgadza- zbiór liczb całkowitych jest domknięty, a zatem również zbiór liczb naturalnych jest domknięty (jako przekrój zbioru liczb całkowitych i zbioru liczb nieujemnych), więc jako przekrój dwóch zbiorów domkniętych jest domknięty; i w podobny sposób otrzymamy, że zbiór liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem jest zbiorem domkniętym.


Okazuje się, że również odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) ma tą ciekawą własność, co prosta liczb rzeczywistych, tzn.:
Jeśli można ten odcinek pokryć dwoma zbiorami otwartymi, to można go również pokryć dwoma zbiorami domkniętymi, i to na zbiory mniejsze, czyli tak, aby pierwszy zbiór domknięty zawierał się w pierwszym zbiorze otwartym, i tak aby drugi zbiór domknięty zawierał się w drugim zbiorze otwartym.

Nie wiem, na ile rozumiem dowód tego faktu, ale:

Odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) jest przestrzenią normalną (\(\displaystyle{ T_4}\)), a dla przestrzeni normalnych powyższa własność zachodzi, w myśl tego samego zadania, tzn. w myśl zadania z książki "Zarys topologii ogólnej " Ryszarda Engelkinga, str. 50, ćwiczenie D.

Mogę to zilustrować, w najprostszych przypadkach: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) i: \(\displaystyle{ \\}\)


Mamy też takie ciekawe twierdzenie odnośnie przestrzeni topologicznych spójnych:

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) jest przestrzenią topologiczną;
taką, że jeśli \(\displaystyle{ x,y \in X}\) są jego punktami, to istnieje podzbiór spójny \(\displaystyle{ Y \subset X}\) zawierający te punkty, czyli taki, że: \(\displaystyle{ x \in Y}\) i \(\displaystyle{ y \in Y}\) ( i tak dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ x,y \in X}\)).
Wtedy cała przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią spójną.

Znowu, nie wiem na ile rozumiem dowód tego faktu, ale mogę, z przyjemnością, je objaśnić:

Ustalmy punkt \(\displaystyle{ P \in X}\), będzie on u nas zawsze taki sam, a drugi punkt \(\displaystyle{ y}\) będzie się zmieniał.
Biorąc zatem pewien punkt \(\displaystyle{ y_0}\) otrzymujemy podzbiór spójny zawierający (jako elementy) punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ y_0}\). (Wyobrażając to sobie na płaszczyźnie) jeśli tak 'dookoła' będziemy dobierać podzbiory spójne (a więc zbiory będące w jednym kawałku) płaszczyzny zawierające punkty \(\displaystyle{ P}\)( ten ustalony), i zmieniające się 'dookoła' punkty \(\displaystyle{ y}\), to widać, że również cały kwadrat, czy nawet cała płaszczyzna, będzie zbiorem w jednym kawałku, czyli będzie zbiorem spójnym (jako suma zbiorów spójnych mających punkt wspólny \(\displaystyle{ P}\) ). Oto ilustracja tej konstrukcji: \(\displaystyle{ \\}\)

Udowodniłem przed chwilą, że kratownica zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) jest zbiorem domkniętym na płaszczyźnie, jak i udowodniłem, że sieć zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ \times \ZZ}\) jest zbiorem domkniętym w przestrzeni trójwymiarowej.

Dowód tego faktu będzie prosty, jeśli skorzystamy z prawa,
(dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\)), mamy wtedy :

\(\displaystyle{ \overline {A \times B}= \overline{A} \times \overline{B},}\)

które znajduje się w książce "Zarys topologii ogólnej", str. 70, tw. 2.

Mamy zatem:

\(\displaystyle{ \overline{\ZZ \times \ZZ}= \overline{\ZZ} \times \overline{\ZZ}= }\)

a wiemy, że zbiór liczb całkowitych jest zbiorem domkniętym, a więc jego domknięcie \(\displaystyle{ \overline{\ZZ}=\ZZ}\) jest jemu równe, więc ponieważ dla dwóch zbiorów istnieje tylko jeden ich iloczyn kartezjański, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\ZZ \times \ZZ;}\)

a zatem, zbiór \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) jest równy swojemu domknięciu, jest zatem zbiorem domkniętym na płaszczyźnie.\(\displaystyle{ \square}\)


Możemy udowodnić, w podobny sposób, że sieć zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ \times \ZZ}\) jest zbiorem domkniętym w przestrzeni trójwymiarowej.

Wystarczy skorzystać z prawa
(dla trzech zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C \subset \RR}\)), mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \overline{ A \times B \times C}= \overline{ A} \times \overline{B} \times \overline C,}\)

co wynika z tego samego twierdzenia zacytowanego w tej książce;

i ponieważ zbiór liczb całkowitych jest zbiorem domkniętym, więc w podobny sposób, jak powyżej, możemy ten fakt udowodnić.


We wtorek, jadąc do domu autobusem, czytałem o zbiorach bliskich i dalekich.
Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to możemy rozważać relację bliskości między tymi dwoma podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Formalnie, jest to dowolna relacja pomiędzy dwoma podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), mająca kilka własności, np. jest to relacja symetryczna, jeśli zbiór jest bliski sumy drugiego i trzeciego zbioru, to jest on bliski co najmniej jednego ze składników tej sumy, różne zbiory jednopunktowe nie są bliskie, (mówimy wtedy, że są dalekie); i, dodam jeszcze, najciekawsze:

Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) są dalekie, to cały zbiór \(\displaystyle{ X}\) można pokryć dwoma zbiorami \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\), tak, że zbiór \(\displaystyle{ A' }\) jest daleki od zbioru \(\displaystyle{ A,}\) i zbiór \(\displaystyle{ B' }\) jest daleki od zbioru \(\displaystyle{ B}\).

Wystarczy, jako zbiór \(\displaystyle{ A',}\) wziąć 'małe otoczenie' zbioru \(\displaystyle{ B}\), a jako zbiór \(\displaystyle{ B'}\) wziąć jego dopełnienie (zbioru \(\displaystyle{ A'}\))- oto ilustracja takiej konstrukcji w prostokącie na płaszczyźnie: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Mamy też prawo mówiące, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) przecinają się (tzn. mają przekrój niepusty), to muszą być bliskie. (Czytałem dowód tego faktu, ale nie zrozumiałem go). Ale taki fakt pasuje mi, i wynika z niego, że dowolny niepusty zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest bliski samemu sobie (bo niepusty zbiór przecina się z samym sobą ).

Mamy też takie prawo mówiące, że jeśli dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) są bliskie, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski również dowolnemu zbiorowi \(\displaystyle{ C \subset X,}\) będącym nadzbiorem drugiego zbioru \(\displaystyle{ B}\).


Zauważmy na koniec, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ r}\), takiej, że \(\displaystyle{ 0<r<1,}\) można rozważać torus o grubości \(\displaystyle{ 2r}\).

Wystarczy wziąć okrąg \(\displaystyle{ O_1= O\left( \left( 0,0\right);1 \right)}\) o środku w początku układu i o promieniu \(\displaystyle{ 1}\); i wziąć okrąg \(\displaystyle{ O_2= O\left( \left( 0,0\right);r \right)}\) o środku w początku układu i o promieniu \(\displaystyle{ r}\). I, wtedy, iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ O_1 \times O_2}\) nazywamy torusem o grubości \(\displaystyle{ 2r}\).

Jest to obiekt \(\displaystyle{ 2 \cdot 2= 4-}\)wymiarowy, ale jest to iloczyn kartezjański dwóch okręgów, a iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest to zestawienie wszystkich elementów pierwszego zbioru na przeciwko wszystkim elementom drugiego zbioru; a tu mamy iloczyn kartezjański dwóch okręgów, więc, jak z każdego punktu pierwszego okręgu będziemy wystawiać okrąg leżący w płaszczyźnie prostopadłej i o promieniu \(\displaystyle{ r}\), i tak dookoła, to otrzymamy powierzchnię opony- torus o grubości \(\displaystyle{ r+r=2r.}\)

Można też taki torus zdefiniować jako obiekt trójwymiarowy:

W tym celu wystarczy (zachowując wprowadzone oznaczenia), dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in O_1}\) rozważyć płaszczyznę \(\displaystyle{ \Pi _{\left( x,y\right) }}\) prostopadłą do do płaszczyzny \(\displaystyle{ XY,}\) zawierającej odcinek \(\displaystyle{ \left| \left( 0,0\right); \left( x,y\right) \right| \subset XY}\), łączący początek układu z tym losowym punktem \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\), i rozważyć płaszczyznę zawierającą ten odcinek, prostopoadłą do płaszczyzny \(\displaystyle{ XY}\).

I rozważmy okrąg:

\(\displaystyle{ O \left( \left( x,y\right);r\right) \subset \Pi _{\left( x,y\right) };}\)

o środku w tym punkcie \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) i o promieniu \(\displaystyle{ r}\) leżący w tej płaszczyźnie; i niech \(\displaystyle{ O'(x,y)}\) będzie takim okręgiem, traktowanym jako podzbiór przestrzeni trójwymiarowej.

I niech :

\(\displaystyle{ S_r= \bigcup_{\left( x,y\right) \in O_1 } O'\left( x,y\right) \subset \RR^3}\),

będzie sumą takich okręgów.

Jest to podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \RR^3}\), jako suma podzbiorów \(\displaystyle{ \RR^3}\).

Jest to torus w \(\displaystyle{ \RR^3}\) o grubości \(\displaystyle{ 2r}\).

Trzeba będzie taki torus, dowolnej grubości, rozłożyć na okręgi, i to na co najmniej dwa sposoby, zamierzam niebawem zrobić związane z tym zadanie .

Rozważmy prostą liczb rzeczywistych z naturalną topologią, oraz dowolny ustalony podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\). Domknięcie zbioru \(\displaystyle{ B \subset \RR}\) będziemy ( na potrzeby tego zadania) oznaczać jako: \(\displaystyle{ B ^{-}}\), a dopełnienie (do całej prostej liczb rzeczywistych), jako: \(\displaystyle{ B'}\). I, mam udowodnić, że przez stosowania operacji domknięcia i dopełnienia do naszego podzbioru prostej \(\displaystyle{ A}\) (lub do powstałych zbiorów) można otrzymać co najwyżej \(\displaystyle{ 14}\) różnych zbiorów.

Oh, ale nieściśli są Ci autorzy Engelkinga (bo dla nich wszystko jest jasne- a ja wszystkiego mam się domyślać, na tym nie polega matematyka ).

Spróbuje zatem samodzielnie uściślić to zadanie:

Niech \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), będzie dowolnym ustalonym podzbiorem prostej liczb rzeczywistych.
Definiujemy indukcyjnie ciąg \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}_n\right) _{n \in \NN} }\) rodzin podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}_0= \left\{ A\right\} \subset P\left( \RR\right);}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1}= \mathbb{B} _{n} \cup \left\{ B ^{-}\Bigl| \ B \in \mathbb{B}_n \right\} \cup \left\{ B'= \RR \setminus B \Bigl| \ B \in \mathbb{B}_n \right\}.}\)

Czyli najpierw rozważamy rodzinę jednozbiorową złożoną z naszego podzbioru prostej \(\displaystyle{ A}\) , potem rozważamy rodzinę trójzbiorową \(\displaystyle{ \left\{ A, A ^{-}, A' \right\}}\) złożoną z tego podzbioru, jego domknięcia i jego dopełnienia (do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)), i w \(\displaystyle{ n}\)-ym kroku (gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\)), do ostatniej rodziny, a więc do wszystkich zbiorów dostępnych w danym momencie, dodajemy (jako elementy rodziny) wszystkie domknięcia dostępnych zbiorów, oraz wszystkie dopełnienia (do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) dostępnych zbiorów.

Formalnie:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1}= \mathbb{B} _{n} \cup \left\{ C \subset \RR\Bigl| \ \ \bigvee\limits_{B} \left( B \in \mathbb{B}_n \wedge C= B ^{-} \right) \right\} \cup \left\{ C \subset \RR\Bigl| \ \bigvee\limits _{D \in \mathbb{B}_n} C= \RR \setminus D= D' \right\} ;}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1}= \underbrace{\mathbb{B}_n}_{ \subset P\left( \RR \right) } \cup \underbrace{\left\{ B ^{-}\Bigl| \ B \in \mathbb{B} _{n} \right\}}_{ \subset P\left( \RR\right) } \cup \underbrace{\left\{ B'= \RR \setminus B\Bigl| \ B \in \mathbb{B} _n\right\}}_{ \subset P\left( \RR\right) }. }\)

i otrzymujemy, że również \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1} \subset P\left( \RR\right)}\),
a więc jest to ciąg elementów zbioru \(\displaystyle{ P\left( P\left( \RR\right) \right)}\), jednego ustalonego zbioru.

Z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję, otrzymujemy ciąg \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}_n\right) _{n \in \NN} }\) rodzin podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), czyli mamy zawsze: \(\displaystyle{ \mathbb{B}_n \subset P\left( \RR\right)}\).

Wykażemy, że rodzina zbiorów:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}:= \bigcup_{n \in \NN} \mathbb{B}_n \subset P\left( \RR\right)}\),

jest co najwyżej czternasto-elementowa .

Wczoraj to udowodniłem.

Wczoraj udowodniłem również, że dla trzech podzbiorów prostej \(\displaystyle{ A, B, C \subset \RR}\), oznaczając brzeg zbioru \(\displaystyle{ D}\) jako \(\displaystyle{ Fr(D),}\) udowodniłem, że wtedy:

\(\displaystyle{ Fr(A \times B \times C)= \left( Fr\left( A\right) \times \overline{B} \times \overline{C} \right) \cup\left( \overline {A} \times Fr\left( B\right) \times \overline{C} \right) \cup \left( \overline{A} \times \overline{B} \times Fr\left( C\right) \right). }\)

Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów, a na koniec może o coś jeszcze spytam.


Przejdźmy do naszego pierwszego zadania.

W Engelkingu, podali wskazówkę:

Wykazać, prawo (dla \(\displaystyle{ A \subset \RR}\)):

\(\displaystyle{ A^{-'-'-'-}= A ^{-'-}.}\)

To prawo mi nie przeszkadza (nie dziwi mnie), może nie będę tym razem trudził się aby je udowodnić (uznam je za oczywiste ).

Wypiszmy, jakie zbiory możemy uzyskać w kolejnych krokach, aż do \(\displaystyle{ n=8}\):

Dla \(\displaystyle{ n=1,}\) otrzymujemy zbiory: \(\displaystyle{ A, A ^{-}, A'.}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\), otrzymujemy dodatkowo (oprócz powyższych zbiorów) zbiory: \(\displaystyle{ \left( A'\right) ^{-}}\) i \(\displaystyle{ A ^{-'}.}\)

Niektóre przypadki znikają, na mocy praw (dla zbioru \(\displaystyle{ B \subset \RR}\)):

\(\displaystyle{ \left( B'\right) '= B}\) i \(\displaystyle{ \left( B ^{-} \right) ^{-}= B ^{-}.}\)

A zatem, dalej:

Dla \(\displaystyle{ n=3}\), otrzymujemy dodatkowo zbiory :
\(\displaystyle{ A ^{-'-}}\) dla operacji domknięcia, oraz otrzymujemy zbiór \(\displaystyle{ A ^{'-'}}\), dla dopełnienia.

Łatwo, ale żmudnie, można się przekonać, że z każdym kolejnym krokiem \(\displaystyle{ n,}\) otrzymujemy dodatkowo dwa zbiory, przy których ilość wszystkich kolejnych operacji wynosi dokładnie \(\displaystyle{ n}\), i w której, kolejne działania domknięcia i dopełnienia są wykonywane na przemian, tak jak w zbiorze liczb naturalnych są rozmieszczone liczby parzyste i liczby nieparzyste. W zależności od wyboru pierwszej takiej operacji otrzymujemy dwa możliwe zbiory.

I, dla \(\displaystyle{ n=7}\), otrzymujemy dwa zbiory:

\(\displaystyle{ A ^{'-'-'-'}}\), i otrzymujemy zbiór: \(\displaystyle{ A ^{-'-'-'-}.}\)

Na mocy podanej wskazówki, ostatni zbiór jest równy: \(\displaystyle{ A ^{-'-}}\), a taki zbiór już otrzymaliśmy dla \(\displaystyle{ n=3}\).

Mamy zatem na razie (\(\displaystyle{ 2 \cdot 7 +1-1=14}\)) możliwych zbiorów.

Dla \(\displaystyle{ n=8}\), otrzymujemy dwa zbiory:

\(\displaystyle{ A ^{'-'-'-'-}}\), co, na mocy powyższej równości, jest równe (za zbiór \(\displaystyle{ A}\) podstawiamy domknięcie
\(\displaystyle{ A ^{-}}\) ), i otrzymujemy zbiór: \(\displaystyle{ \left( A '\right) ^{-'-}}\), a taki zbiór już otrzymaliśmy dla: \(\displaystyle{ n=4.}\)

Dla \(\displaystyle{ n=8}\), stosując operację dopełnienia otrzymujemy zbiór:

\(\displaystyle{ \left( A ^{-'-'-'-}\right)'= \left( A ^{-'-} \right)',}\)

i taki zbiór również już otrzymaliśmy dla: \(\displaystyle{ n=4}\).

Wykażemy teraz, że dla \(\displaystyle{ n \ge 8,}\) mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n} \setminus \mathbb{B} _{n-1}= \emptyset}\),

(który to zbiór pusty, będę oznaczał jako: \(\displaystyle{ \left\{ \right\}}\) ).

Dla \(\displaystyle{ n=8}\), mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{8}= \mathbb{B} _{7} \cup \underbrace {\left\{ A ^{'-'-, A ^{-'-'} } \right\}}_{ \subset \mathbb{B} _{4} },}\)

a ponieważ z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1}}\), mamy: \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1} \supset \mathbb{B} _{n}}\), więc:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{4} \subset \mathbb{B} _{7}}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{8}= \mathbb{B} _{7} \cup \underbrace{\left\{ A'-'-, A ^{-'-'} \right\} }_{ \subset \mathbb{B} _7}= \mathbb{B}_7.}\)
A zatem:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}_8 \setminus \mathbb{B} _{7}= \mathbb{B} _{7} \setminus \mathbb{B}_7= \left\{ \right\}}\),

spełniona jest zatem podstawa indukcji.

Krok indukcyjny:

Jeśli, dla pewnego \(\displaystyle{ n \ge 8}\), mamy: \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n} \setminus \mathbb{B} _{n-1}= \left\{ \right\}}\), to aby pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1} \setminus \mathbb{B} _{n}= \left\{ \right\}}\), to przypuśćmy nie wprost, że tak nie jest, i doprowadźmy rozumowanie do sprzeczności.

Wtedy, dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ C}\), mamy: \(\displaystyle{ C \in \mathbb{B} _{n+1} \setminus \mathbb{B} _{n}}\). Wtedy \(\displaystyle{ C \in \mathbb{B} _{n+1}}\) i \(\displaystyle{ C\not \in \mathbb{B} _{n}}\). Z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1}}\), daje to dwie możliwości:

\(\displaystyle{ C= B ^{-}}\), gdzie \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}_n}\) lub \(\displaystyle{ C= D'}\), gdzie \(\displaystyle{ D \in \mathbb{B} _n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ C= B ^{-}}\), gdzie \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B} _{n}}\), to ponieważ, na mocy założenia indukcyjnego:
\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n} \setminus \mathbb{B} _{n-1} =\left\{ \right\}}\), więc możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B} _{n-1}}\) ( w przeciwnym razie, powyższa różnica zbiorów byłaby niepusta, zbiór \(\displaystyle{ B}\) należałby do niej, a ona jest pusta- sprzeczność), a zatem: \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B} _{n-1}}\), a zatem ponieważ \(\displaystyle{ C= B ^{-}}\), więc z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}_n}\) możemy wnioskować, że: \(\displaystyle{ C \in \mathbb{B} _{\left( n-1\right)+1 } = \mathbb{B} _{n }}\)- sprzeczność.

Jeśli \(\displaystyle{ C= B',}\) gdzie \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}_n}\), to w sposób analogiczny otrzymujemy sprzeczność.

Wobec czego: \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n+1} \setminus \mathbb{B}_n= \left\{ \right\}}\), krok indukcyjny został dowiedziony.

Zasada indukcji matematycznej gwarantuje, że: \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n} \setminus \mathbb{B} _{n-1} = \left\{ \right\}}\), dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 8}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} := \bigcup_{n \in \NN} \mathbb{B}_n.}\)

A zatem:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \bigcup_{n=0}^{7} \mathbb{B}_n \cup \left( \bigcup_{n \in \NN, n \ge 8} \mathbb{B}_n\right)=}\)

i ponieważ:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}_0 \subset \mathbb{B} _1 \subset \mathbb{B}_2 \subset \mathbb{B}_3 \subset \ldots \subset \mathbb{B}_7}\), więc to jest równe:

\(\displaystyle{ = \mathbb{B}_7 \cup \bigcup_{n \in \NN, n \ge 8} \mathbb{B}_ n=}\)

i ponieważ ciąg rodzin zbiorów \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}_n\right)}\) jest ciągiem zbiorów rosnących, więc ta suma jest równa sumie:

\(\displaystyle{ =\mathbb{B}_7 \cup \bigcup_{n \in\NN, n \ge 8 } \left( \mathbb{B} _{n} \setminus \mathbb{B} _{n-1} \right)=}\)

i ponieważ dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\), mamy: \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{n} \setminus \mathbb{B} _{n-1}= \left\{ \right\}}\), więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\mathbb{B} _{7} \cup \bigcup_{n \in \NN, n \ge 8} \left\{ \right\} = \mathbb{B} _{7} \cup \left\{ \right\} = \mathbb{B}_7.}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \mathbb{B}_7.}\)

Ale:

\(\displaystyle{ \mathbb{B} _{7}=\left\{ A,A ^{-}, A', A ^{'-} ,A ^{-'} ,A ^{-'-} ,A ^{'-'} ,A ^{'-'-} ,A ^{-'-'} ,A ^{-'-'-} ,A ^{'-'-'} ,A ^{'-'-'-} ,A ^{-'-'-'} ,A ^{-'-'-'-}= A ^{-'-} ,A ^{'-'-'-'} \right\} . }\)

A zatem:

\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right|= \left| \mathbb{B} _{7} \right| \le 15-1= 14. \square}\)


Pokażemy jeszcze, że da się utworzyć \(\displaystyle{ 14}\) takich różnych zbiorów.

Niech:

\(\displaystyle{ A= \left[ 1,2\right) \cup \left( 2,3\right) \cup \left( \left[ 4,5\right) \cap \QQ\right) \cup \left\{ 6\right\}}\),

będzie zbiorem startowym na prostej.

Wtedy, stosując operację domknięcia i dopełnienia uzyskamy \(\displaystyle{ 14}\) różnych zbiorów (pokazano mi to na studiach magisterskich).

Oto:

ILUSTRACJA TEGO FAKTU: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Wykażemy jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, pewien fakt związany z brzegiem kostki.

Rozważmy trzy podzbiory prostej: \(\displaystyle{ A,B, C \subset \RR}\).
Brzeg zbioru \(\displaystyle{ D}\) będziemy oznaczać jako: \(\displaystyle{ Fr\left( D\right)}\).
Wykażemy równość:

\(\displaystyle{ Fr\left( A \times B \times C\right) = \left( Fr\left( A\right) \times \overline{B} \times \overline{C} \right) \cup\left( \overline {A} \times Fr\left( B\right) \times \overline{C} \right) \cup \left( \overline{A} \times \overline{B} \times Fr\left( C\right) \right).}\)

Skorzystamy z prawa, dla przestrzeni topologicznych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), dla zbiorów \(\displaystyle{ A \subset X, B \subset Y}\), mamy wtedy (Ryszard Engelking " Zarys topologii ogólnej", str. 79, ćwiczenie D):

\(\displaystyle{ Fr\left( A \times B\right) =\left( \overline{A} \times Fr \left( B\right)\right) \cup \left( Fr\left( A\right) \times \overline{B}\right);}\)

(Jak ktoś chcę, mogę to zilustrować- wczoraj bawiłem się trochę takimi rysunkami na płaszczyźnie).

Możemy zatem łatwo udowodnić nasz fakt (zachowując wprowadzone oznaczenia):

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ Fr\left( A \times B \times C\right)= Fr\left(\left( A \times B\right) \times C \right) = \left[ \overline{\left( A \times B\right)} \times Fr \left( C\right) \right] \cup \left[ Fr \left( A \times B\right) \times \overline{C}\right] =\\ =\left[ \overline{A} \times \overline{B} \times Fr\left( C\right) \right] \cup\left[ \left( \overline {A} \times Fr\left( B\right) \right) \cup \left( Fr\left( A\right) \times \overline {B} \right) \right] \times \overline{C}= \\ = \left[ \overline{A} \times \overline{B} \times Fr\left( C\right) \right] \cup \left[ \overline{A} \times Fr\left( B\right) \times \overline{C}\right] \cup \left[ Fr \left( A\right) \times \overline{B} \times \overline {C} \right].\square}\)

Dodajmy jeszcze, taki ciekawy fakt, że jeśli mamy podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ B \subset \RR^2}\), to brzeg zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest równy brzegu jego dopełnienia.


Dziwaczne topologie mnie nie interesują (przyznam wprost- to nie na moją głowę), ale jedna topologia mi się podoba, chodzi o pewną topologię wprowadzoną przez operację domknięcia.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym, co najmniej dwuelementowym zbiorem, i niech \(\displaystyle{ x \in X}\) będzie dowolnym, ustalonym jego elementem. Topologię w tym zbiorze wprowadzamy przez operację domknięcia:
Domknięciem zbioru pustego musi być zbiór pusty, więc to przyjmujemy oddzielnie, a dla niepustego zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\), to go domykamy dodając do niego (jako element) ten ustalony element \(\displaystyle{ x}\), czyli: \(\displaystyle{ \overline{A}= A \cup \left\{ x\right\}.}\)
I, topologię w tym zbiorze, wprowadzamy przez tą operację domknięcia.
W tej topologii zbiorami otwartymi są dokładnie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ X}\) nie zawierające tego elementu \(\displaystyle{ x}\), a zbiorami domkniętymi są podzbiory zbioru \(\displaystyle{ X}\) zawierające ten element \(\displaystyle{ x}\). Wtedy na przykład, każdy jednopunktowy podzbiór \(\displaystyle{ X}\) , różny od zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x\right\},}\) jest zbiorem otwartym.
Jest to również przykład \(\displaystyle{ T_0}\) przestrzeni, która nie jest \(\displaystyle{ T_1}\) przestrzenią.


Na koniec zadam zagubione pytanie z tego wątku :

Jeśli mamy dowolną funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), to jak pokazać, że wykres tej funkcji, tzn. zbiór par :

\(\displaystyle{ \left\{ \left( x, f\left( x\right) \right)\Bigl| \ x \in \RR \right\}}\),

jest domkniętym podzbiorem płaszczyzny??

Janusz Tracz już dał coś znać na ten temat, ale to dla mnie za mało.

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 16:37Oh, ale nieściśli są Ci autorzy Engelkinga

Autorem Engelkinga jest Engelking...

No chyba, że masz na myśli podręcznik Engelkinga, Siekluckiego, ale to nie jest "Engelking".

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 16:37a ja wszystkiego mam się domyślać, na tym nie polega matematyka ).

Ależ na tym, na tym...

JK

Dlaczego Ja wolę gdy problem jest postawiony jasno, a nie kłopocić się nad niejasnościami czy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest po prostu dowolną funkcją między przestrzeniami topologicznymi, czy może chodzi autorom o dowolną funkcją ciągłą, takie wątpliwości wspominam nieciekawie...Nie cierpię domyślać się co autor miał na myśli. I formalnie (mogę udawać głupa), dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR,}\) z niego, za pomocą operacji dopełnienia i domknięcia, można utworzyć dwa ( może trzy, licząc ze startowym zbiorem) zbiory, jest to dziecinnie proste: \(\displaystyle{ A, A ^{-}, A'=\RR \setminus A- }\) tu nie ma żadnej filozofii, gdyż mamy tutaj tylko jeden zbiór, i dwie operacje na nim, a więc mamy tylko dwa możliwe zbiory.

Matematyka to nauka ścisła, a nie nauka robienia domysłów i nauka robienia skrótów myślowych.
A, bo ta omawiana książka, jest to tylko "Zarys topologii ogólnej", ja tego nie pojmę nawet za miliard lat, (gdyż w tej ksiąźce prawdziwej topologii nie ma, jest to tylko zarys, przepełniony niedopowiedzeniami i skrótami myślowymi, a stąd do prawdy daleka droga, ciekawe kto tą książkę może pojąć ).

Marnie to o tobie świadczy, wyjątkowy studencie. Wygląda na to, że będziesz do końca życia zachwycał się stawianymi prze siebie problemami, które średni student łyka na kolację.

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 22:06 Dlaczego Ja wolę gdy problem jest postawiony jasno, a nie kłopocić się nad niejasnościami czy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest po prostu dowolną funkcją między przestrzeniami topologicznymi, czy może chodzi autorom o dowolną funkcją ciągłą, takie wątpliwości wspominam nieciekawie...

W żadnym porządnym podręczniku nie ma takich dwuznaczności. Najwyraźniej czegoś nie doczytałeś bądź nie zrozumiałeś.

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 22:06Nie cierpię domyślać się co autor miał na myśli. I formalnie (mogę udawać głupa), dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR,}\) z niego, za pomocą operacji dopełnienia i domknięcia, można utworzyć dwa ( może trzy, licząc ze startowym zbiorem) zbiory, jest to dziecinnie proste: \(\displaystyle{ A, A ^{-}, A'=\RR \setminus A- }\) tu nie ma żadnej filozofii, gdyż mamy tutaj tylko jeden zbiór, i dwie operacje na nim, a więc mamy tylko dwa możliwe zbiory.

To nie mówi nic o książce, ale o Tobie - sporo.

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 22:06Matematyka to nauka ścisła, a nie nauka robienia domysłów i nauka robienia skrótów myślowych.

Matematyk rozwijając się coraz więcej rzeczy potrafi odczytać między wierszami i dlatego nie trzeba mu wszystkie pisać (jak to mawiał mój nieco młodszy kolega) "jak krowie na rowie". Gdyby wszystko było podawane zgodnie z Twoim rozumieniem "ścisłości", to byłoby zupełnie niestrawne, tak jak - z całym szacunkiem - spora część Twoich wpisów.

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 22:06 A, bo ta omawiana książka, jest to tylko "Zarys topologii ogólnej", ja tego nie pojmę nawet za miliard lat, (gdyż w tej ksiąźce prawdziwej topologii nie ma, jest to tylko zarys, przepełniony niedopowiedzeniami i skrótami myślowymi, a stąd do prawdy daleka droga, ciekawe kto tą książkę może pojąć ).

I znów: to nie mówi nic o książce, ale o Tobie - sporo.

A zasada jest prosta: jak Ci nie podchodzi podręcznik, to szukasz innego, który będzie do Ciebie lepiej trafiał... Choć przy Twoich oczekiwaniach obawiam się, że może to być trudne.

JK

Jakub Gurak pisze: ↑27 lip 2023, o 16:37 Na koniec zadam zagubione pytanie z tego wątku :

Jeśli mamy dowolną funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), to jak pokazać, że wykres tej funkcji, tzn. zbiór par :

\(\displaystyle{ \left\{ \left( x, f\left( x\right) \right)\Bigl| \ x \in \RR \right\}}\),

jest domkniętym podzbiorem płaszczyzny??

Bo wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) (ozn.: \(\displaystyle{ \text{gr}\left( f\right)}\)) czyli zbiór o którym mówisz jest przeciwobrazem zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą. Faktycznie, \(\displaystyle{ G:\RR^2\to \RR}\) dane wzorem \(\displaystyle{ G(x,y)=f(x)-y}\) jest ciągła no i \(\displaystyle{ \text{gr}\left( f\right) =G^{-1}[\{0\}]}\).

Dzięki Janusz Tracz, mamy kolejne zastosowanie zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}. }\)

Z moich spostrzeżeń topologicznych, to chciałbym jeszcze dodać, że:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem skończonym (wygląda na to, że dla nieskończonych zbiorów też będzie to działać, jeśli ustalimy odpowiedni do poniższego dowolny element tego zbioru), ale powiedzmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem skończonym, ponumerujmy więc jego elementy jako:

\(\displaystyle{ X=\left\{ a_1, a_2,\ldots, a_n\right\}}\) ,

i wtedy, dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\); rodzina:

\(\displaystyle{ \mathcal{R}_i= \left\{ \ \left\{ \right\}; \left\{ a_i\right\}; X \ \right\} }\),

jest topologią na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)- można to łatwo sprawdzić;

jak i rodzina:

\(\displaystyle{ \mathcal{R}_1= \left\{ \ \emptyset; \left\{ a_1\right\} ; \left\{ a_2\right\}; \left\{ a_1, a_2\right\} ; X \ \right\} ;}\)

też jest topologią- to też można łatwo sprawdzić;

ale już rodzina, np. już dla \(\displaystyle{ m=3 \le n}\) :

\(\displaystyle{ \mathcal{R}_2= \left\{ \ \emptyset; \left\{ a_1\right\}; \left\{ a_2\right\} ; \ldots; \left\{ a_m\right\} ; \left\{ a_1, a_2, \ldots,a_m \right\}; X \right\} \ ;}\)

taka rodzina nie będzie topologią, bo nie jest zamknięta na sumę dwóch zbiorów.

Rozwiązałem wczoraj takie poniższe zadanie- "Zarys topologii ogólnej", Ryszard Engelking (nie podam strony, gdyż książki nie mam już w ręku, mam jedynie zapiski na kartce):

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \beta, \beta'}\) niech będą relacjami bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\).
Mówimy, że bliskość \(\displaystyle{ \beta}\) jest silniejsza od bliskości \(\displaystyle{ \beta'}\), co zapisujemy jako: \(\displaystyle{ \beta ' \le \beta}\), dokładnie wtedy, gdy dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze \(\displaystyle{ B}\) względem bliskości \(\displaystyle{ \beta}\), to jest również bliski zbiorze \(\displaystyle{ B}\), względem bliskości \(\displaystyle{ \beta'.}\) Wykazać, że tak określona relacja jest częściowym porządkiem w rodzinie wszystkich relacji bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\).

Wykazałem, prócz tego, że w takim zbiorze uporządkowanym jest element największy.
Przypomnę może teraz dokładną definicję relacji bliskości, i przedstawię dowody tych ciekawych faktów.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \beta}\) niech będzie relacją w zbiorze \(\displaystyle{ P\left( X\right)}\), tzn. chodzi o relację pomiędzy dwoma podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\). Relację tą, nazywamy relacją bliskości ( i zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) pomiędzy którymi zachodzi ta relacja, tzn. gdy \(\displaystyle{ A\left( \beta \right)B}\), takie zbiory, o tej własności, nazywamy zbiorami bliskimi, w przeciwnym przypadku, mówimy, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są dalekie, co zapisujemy jako: \(\displaystyle{ A\left( \overline{ \beta }\right)B }\) ), gdy spełnia poniższe warunki:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}:}\) Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorowi \(\displaystyle{ B}\), dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ B}\) jest bliski \(\displaystyle{ A}\) (symetryczność);
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}:}\) Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski sumy \(\displaystyle{ \left( B \cup C\right)}\) dwóch podzbiorów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest bliski co najmniej jednemu składnikowi tej sumy;
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}:}\) Zbiory jednopunktowe \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}; \left\{ y\right\}}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=y}\), (czyli różne zbiory jednopunktowe nie są bliskie, są dalekie);
\(\displaystyle{ 4 ^{\circ}:}\) Zbiór pusty jest daleki od całego zbioru \(\displaystyle{ X;}\)
\(\displaystyle{ 5 ^{\circ}:}\) Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) są dalekie, to cały zbiór \(\displaystyle{ X}\) można pokryć dwoma zbiorami \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) (tzn. można znaleźć takie zbiory \(\displaystyle{ C,D \subset X}\), że \(\displaystyle{ C \cup D=X}\)),i to zbiory dalekie od tych odpowiednich zbiorów danych na wejściu (tzn. tak aby zbiór \(\displaystyle{ A}\) był daleki od zbioru \(\displaystyle{ C}\), i tak aby zbiór \(\displaystyle{ B}\) był daleki od zbioru \(\displaystyle{ D}\)).

Aby objaśnić punkt \(\displaystyle{ 5 ^{\circ}}\), który może sprawiać tutaj największą trudność, wystarczy za zbiór \(\displaystyle{ C}\) wziąć małe otoczenie zbioru \(\displaystyle{ B}\), a za zbiór \(\displaystyle{ D}\) wziąć jego dopełnienie do zbioru \(\displaystyle{ X}\)- zilustrowałem to niedawno w jednym z postów powyżej.

Wtedy parę \(\displaystyle{ \left( X, \beta \right)}\) nazywamy przestrzenią z bliskością.

Wykażemy pewien fakt, który będzie w pewnym momencie dość kluczowy, tzn. wykażemy, że:

Fakt 0: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \beta}\) jest relacją bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), i mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), które się przecinają, tzn. \(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\), to zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) muszą być bliskie, i to względem tej dowolnej bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\).

Podajmy najpierw pewien prosty Lemat:

Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \beta \right)}\) jest przestrzenią z bliskością, i mamy trzy zbiory \(\displaystyle{ A,B,C \subset X}\), takie, że \(\displaystyle{ B \subset C}\), i takie, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są bliskie, to również zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) muszą być bliskie (czyli jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze \(\displaystyle{ B}\), to jest on bliski również dowolnemu zbiorze \(\displaystyle{ C \subset X}\) będącym nadzbiorem drugiego zbioru \(\displaystyle{ B}\) ).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Skoro \(\displaystyle{ B \subset C}\), więc \(\displaystyle{ B \cup C= C}\), i mamy, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są bliskie, a zatem, w myśl podpunktu \(\displaystyle{ 2 ^{\circ}}\): \(\displaystyle{ A\left( \beta\right) B \cup C}\) (zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski sumy \(\displaystyle{ B \cup C}\)), a ponieważ \(\displaystyle{ B \cup C=C}\), więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze \(\displaystyle{ C. \square}\)

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ \(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\) , to niech \(\displaystyle{ x \in A \cap B}\) będzie ustalonym elementem tego przekroju. Na mocy własności \(\displaystyle{ 3 ^{\circ}}\) zbiór jednopunktowy \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) jest bliski samemu sobie. Mamy: \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset A}\), a zatem, na mocy powyższego Lematu zastosowanego do zbiorów \(\displaystyle{ A:=\left\{ x\right\}}\); \(\displaystyle{ B:= \left\{ x\right\}}\) i \(\displaystyle{ C:= A}\), więc: zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) jest bliski zbiorze \(\displaystyle{ A}\), co wobec symetrii (\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} }\)) relacji bliskości daje, że: zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorowi \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x \in A \cap B}\), więc \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset B}\), a zatem, ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) są bliskie, więc stosując ten Lemat jeszcze raz, tym razem do zbiorów \(\displaystyle{ A:=A}\); \(\displaystyle{ B:= \left\{ x\right\}}\) i \(\displaystyle{ C:=B}\) otrzymujemy, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) muszą być bliskie, względem dowolnej ustalonej bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X.\square}\)

Wynika stąd, że dla przestrzeni z bliskością \(\displaystyle{ \left( X, \beta \right) }\), dla niepustego zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski samemu sobie (bo niepusty zbiór przecina się z samym sobą).

Przejdźmy do naszego zadania.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem.
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \beta}\) jest dowolną relacją bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ \beta \subset P(X) \times P(X)}\), a zatem rodzina wszystkich relacji bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), tzn. rodzina:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}:= \left\{ \beta \subset P(X) \times P(X)\Bigl| \ \ \beta \hbox{ jest relacją bliskości w zbiorze } X\right\};}\)

Formalnie, mamy: \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( P\left( X\right) \times P\left( X\right) \right)}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{A} \in P\left(\ P\left( \ P\left( X\right) \times P(X) \ \right) \ \right)}\), a więc ta rodzina, jest elementem pewnego zbioru jednoznacznie wyznaczonego przez zbiór \(\displaystyle{ X}\).

Niech \(\displaystyle{ \beta , \beta ' \in \mathbb{A}}\) będą relacjami bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X.}\)
Wtedy definiujemy porządek na tych bliskościach:

\(\displaystyle{ \beta ' \le \beta \Longleftrightarrow \left[ \hbox{ dla każdych zbiorów } A,B \subset X: A\left( \beta \right) B \rightarrow A \left( \beta'\right) B\right] .}\)

i mówimy wtedy, że bliskość \(\displaystyle{ \beta}\) jest silniejsza niż bliskość \(\displaystyle{ \beta '.}\)

Wykażemy, że relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest częściowym porządkiem, w którym to zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \le\right) }\) jest element największy.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Aby wykazać zwrotność, to niech: \(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{A}.}\)
Aby wykazać, że: \(\displaystyle{ \beta \le \beta}\) , to niech \(\displaystyle{ A,B \subset X}\). Wtedy jeśli \(\displaystyle{ A\left( \beta\right) B}\) (zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorowi \(\displaystyle{ B}\)) , to \(\displaystyle{ A\left( \beta\right) B}\), a zatem żądana własność zachodzi, co wobec dowolności wyboru zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) oznacza, że \(\displaystyle{ \beta \le \beta}\), i relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest zwrotna.

Aby wykazać antysymetrię, to załóżmy, że: \(\displaystyle{ \beta \le \beta '}\) i \(\displaystyle{ \beta ' \le \beta}\). Oznacza to, że dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X,}\) jeśli \(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\), to \(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B}\); oraz, dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), jeśli \(\displaystyle{ A\left( \beta '\right)B}\), to \(\displaystyle{ A \left( \beta \right)B}\). Co oznacza, mówiąc innymi słowy, że dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), jeśli \(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta}\) , to \(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta '}\), co oznacza (z definicji inkluzji i z definicji bliskości), że \(\displaystyle{ \beta \subset \beta ';}\) a druga własność oznacza, mówiąc innymi słowy, że dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X:}\) jeśli \(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta '}\), to \(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta}\) , co oznacza, że \(\displaystyle{ \beta ' \subset \beta}\) . Łącząc te dwa fakty, otrzymujemy: \(\displaystyle{ \beta = \beta ',}\) i relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest antysymetryczna.

Przechodniość:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \beta \le \beta ' \le \beta ''. }\)
Oznacza to, że dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X:}\) jeśli \(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B}\), to \(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\); oraz, dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\): jeśli \(\displaystyle{ A\left( \beta ''\right) B}\), to \(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B.}\)
Niech \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) będą takimi podzbiorami, że: \(\displaystyle{ A\left( \beta ''\right)B}\). Wtedy, na mocy drugiej z tych powższych własności: \(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B;}\) i dalej, na mocy pierwszej z powyższych własności: \(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\); co, wobec dowolności wyboru zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X,}\) oznacza, że: \(\displaystyle{ \beta \le \beta '',}\) i relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest przechodnia.

A zatem \(\displaystyle{ \le}\) jest częściowym porządkiem, i para \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \le \right)}\) jest zbiorem uporządkowanym.

Wykażemy, że w tym zbiorze uporządkowanym jest element największy.

Zdefiniujmy relację \(\displaystyle{ \alpha \subset P\left( X\right) \times P\left( X\right)}\), w taki sposób, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), określamy:

\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \alpha \Longleftrightarrow A \cap B \neq \left\{ \right\} .}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest relacją bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) (patrz: "Zarys Topologii ogólnej" Ryszarda Engelkinga),

a zatem \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{A}}\).

Wykażemy, że relacja bliskości \(\displaystyle{ \alpha}\) jest elementem największym w tym zbiorze uporządkowanym.
Niech zatem: \(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{A}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \beta}\) jest relacją bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Niech \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), będą takie, że: \(\displaystyle{ A\left( \alpha \right)B}\). Wtedy \(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\), a zatem, ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) przecinają się, a \(\displaystyle{ \beta }\) jest relacją bliskości w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), więc, na mocy faktu 0, zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) muszą być bliskie, względem tej bliskości, czyli: \(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\); i, z dowolności wyboru takich zbiorów otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ \beta \le \alpha}\) , i \(\displaystyle{ \alpha}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \le \right) .\square}\)

Trzeba będzie jeszcze wykazać, że zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^2}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy ich domknięcia się przecinają; jak i trzeba będzie wykazać, że zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy ich domknięcia się przecinają.


Na koniec dodam parę słów o relacji mocnej inkluzji pomiędzy dwoma podzbiorami danego zbioru.

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \beta\right)}\) będzie przestrzenią z bliskością, i niech \(\displaystyle{ A,B \subset X.}\)

Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), co zapisujemy jako: \(\displaystyle{ A\Subset B}\), gdy jest daleki od dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ B}\).

Oto:

ILUSTRACJA TEGO FAKTU:
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Łatwo jest zauważyć, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), to istotnie jest zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), tzn. jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\).

Również, jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), to jego dopełnienie do danego zbioru \(\displaystyle{ X}\) mocno zawiera dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ B}\), tzn.: \(\displaystyle{ B' \Subset A'}\), gdyż:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. \(\displaystyle{ B'\not\Subset A'.}\) Oznacza to, z definicji mocnej inkluzji, że zbiór \(\displaystyle{ B'}\) jest bliski dopełnieniu \(\displaystyle{ \left( A' \right)'=A}\), co, z symetrii relacji bliskości, daje, że \(\displaystyle{ A \left( \beta \right) B'}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), a zatem jest daleki od dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ B}\)-sprzeczność.\(\displaystyle{ \square}\)

Mamy też taki ciekawy fakt, mówiący, że dla przestrzeni z bliskością \(\displaystyle{ \left( X, \beta \right)}\), oraz dla czterech zbiorów \(\displaystyle{ A_1,A,B, B_1 \subset X}\), jeśli \(\displaystyle{ A_1 \subset A\Subset B \subset B_1}\), to również pomiędzy tymi dwoma skrajnymi zbiorami zachodzi mocna inkluzja, tzn.: \(\displaystyle{ A_1\Subset B_1}\).

Również, zbiór pusty jest mocno zawarty w samym sobie, bo jest daleki od dopełnienia zbioru pustego, równemu zbiorze
\(\displaystyle{ X}\), na mocy własności \(\displaystyle{ 4 ^{\circ}}\) definicji bliskości ( a dlaczego zbiór pusty ma być daleki od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\)?? - tego już Wam nie objaśnię, gdyż zbiór pusty nie jest mi bliski ).

Również, jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \Subset A}\).