W ostatnią sobotę wykazałem pierwszy z tych dwóch faktów, jak i wykazałem drugą połowę drugiego faktu, tzn. wykazałem, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3},}\) jeśli ich domknięcia przecinają się, to zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) będą bliskie. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów, jak i proszę o sprawdzenie pierwszej połowy pierwszego faktu, gdyż tam pojawiła się odległość dwóch punktów płaszczyzny, a taka odległość to jest to funkcja 'czterowymiarowa' (\(\displaystyle{ 2 \times 2}\)), a na przestrzeniach czterowymiarowych to ja się nie znam (Jakub Gurak pisze: ↑25 sie 2023, o 18:11Trzeba będzie jeszcze wykazać, że zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^2}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy ich domknięcia się przecinają; jak i trzeba będzie wykazać, że zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy ich domknięcia się przecinają.
). A tak na poważnie, to po prostu w tym miejscu coś zwątpiłem, więc proszę o sprawdzenie tego dowodu. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.Przypomnijmy ( z książki 'Zarys topologii ogólnej' Ryszarda Engelkinga, tylko nie podam strony, gdyż książki nie mam już pod ręką, ale zapisałem sobie na kartce ściągawkę
):Niech \(\displaystyle{ \left( X,d\right)}\) będzie przestrzenią metryczną.
Wtedy, taka przestrzeń metryczna wyznacza bliskość \(\displaystyle{ \beta}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), taką, że:
Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X:}\)
\(\displaystyle{ A \left( \beta\right) B \Longleftrightarrow A \neq \left\{ \right\} \neq B \hbox{ i } \inf\limits_{x \in A, y \in B} \left\{ d\left( x,y\right) \right\} =0.}\)
Tzn. dwa niepuste podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) są bliskie gdy, jeśli rozważymy odległosci każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ A}\) od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\), to infimum tych odległości jest równe \(\displaystyle{ 0}\) (wtedy te dwa niepuste zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) są bliskie).
Wykażemy, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2}}\) (z naturalną metryką euklidesową na płaszczyźnie) mamy:
\(\displaystyle{ \hbox{ zbiory } A \hbox{ i } B \hbox{ są bliskie } \Longleftrightarrow \overline{A} \cap \overline{B} \neq \left\{ \right\}.}\)
Tzn. dwa podzbiory płaszczyzny są bliskie gdy: albo wtedy gdy się przecinają (wtedy to muszą być sobie bliskie), a jeśli są rozłączne, to też mogą być bliskie, ale tylko wtedy, gdy przecinają się na swoich brzegach.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^2.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A= \left\{ \right\}}\), to zbiór pusty jest daleki od każdego podzbioru płaszczyzny (w szczególności od zbioru \(\displaystyle{ B}\)), i:
\(\displaystyle{ \overline{\left\{ \right\} } \cap \overline{B}= \left\{ \right\} \cap \overline{B}= \left\{ \right\}}\);
zatem obie strony tej równoważności są fałszywe, równoważność więc zachodzi.
Jeśli \(\displaystyle{ B=\left\{ \right\}}\) , to rozumujemy w sposób podobny.
Dalej zakładamy, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niepuste.
Jeśli \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) i \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}}\) , i zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są bliskie, to na mocy przytoczonej charakteryzacji zbiorów bliskich: \(\displaystyle{ \inf \left( \stackrel{ \rightarrow }{d} \left( A \times B\right) \right)= \inf\limits_{x \in A, y \in B} \left\{ d\left( x,y\right) \right\} =0.}\) Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) przecinają się, tzn. \(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\} }\), to istnieje element \(\displaystyle{ x \in A \cap B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A \subset \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ B \subset \overline{B}}\), więc \(\displaystyle{ x \in \overline{A} \cap \overline{B}}\), zatem domknięcia \(\displaystyle{ \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ \overline{B}}\) przecinają się, co należało pokazać.
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, to ponieważ są to zbiory niepuste, więc istnieją elementy \(\displaystyle{ a \in A}\), \(\displaystyle{ b \in B}\). Ponieważ są to zbiory rozłączne, więc: \(\displaystyle{ a \neq b}\), a zatem odległość \(\displaystyle{ d\left( a,b\right)>0 }\) jest dodatnia.
Wykażemy teraz, że dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ C \in \RR_+}\) istnieją elementy \(\displaystyle{ x_C \in A}\) i \(\displaystyle{ y_C \in B}\) takie, że ich odległość: \(\displaystyle{ d\left( x_C, y_C\right)<C}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już skończony ciąg liczbowy:
\(\displaystyle{ 0<x_n< \ldots <x_2<x_1<x_0}\).
Wtedy dla \(\displaystyle{ C=x_n>0}\), na mocy dowiedzionej własności, otrzymujemy, że istnieją elementy \(\displaystyle{ x_C \in A}\) i \(\displaystyle{ y_C \in B}\), takie, że \(\displaystyle{ d\left( x_C, y_C\right)<C}\). Wybierzmy takie elementy, i zdefiniujmy \(\displaystyle{ x _{n+1}= d\left( x_C,y_C\right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x_C \in A, y_C \in B}\), a zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, więc
\(\displaystyle{ x_C \neq y_C}\), a więc \(\displaystyle{ d\left( x_C, y_C\right)>0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ 0<x _{n+1}= d\left( x_C, y_C\right)<C= x_n.}\)
Wybieramy taki element (stosując, być może, aksjomat wyboru),
i, używając twierdzenia o definiowanie przez indukcję, otrzymujemy taki ciąg silnie malejący \(\displaystyle{ \left( x_n\right)}\) liczb rzeczywistych. Ponadto jest to ciąg ograniczony od dołu (przez \(\displaystyle{ 0}\)), a zatem zbieżny do pewnej granicy \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Ale z powyższej konstrukcji mamy:
\(\displaystyle{ x_0= d\left( a,b\right);}\)
\(\displaystyle{ x_1=d\left( a_1, b_1\right);}\)
\(\displaystyle{ x_2= d\left( a_2, b_2\right);}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ x _{n+1}= d\left( a _{n+1}, b _{n+1} \right);}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
dla pewnego ciągu elementów \(\displaystyle{ \left( a_1, a_2, \ldots\right) }\) zbioru \(\displaystyle{ A}\), i dla pewnego ciągu elementów \(\displaystyle{ \left( b_1, b_2, \ldots\right) }\) zbioru \(\displaystyle{ B}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \inf\limits_{x \in A, y \in B} \left\{ d\left( x,y\right) \right\} =0}\), to również ciąg \(\displaystyle{ \left( x_n\right) }\) jest zbieżny do zera. Ponieważ jest to ciąg kolejnych odległości, więc ciąg \(\displaystyle{ S_n= \left( a_n, b_n\right)}\) jest zbieżny do pewnego punktu płaszczyzny \(\displaystyle{ \left( x_a, y _{a} \right).}\) Wtedy, ponieważ zbieżność ciągów elementów płaszczyzny jest zbieżnością 'po współrzędnych', więc ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n\right) }\) jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ x_a}\), a ciąg \(\displaystyle{ \left( b_n\right) }\) jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ y_a}\). Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n\right)}\) jest ciągiem elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), a więc w szczególności jest ciągiem elementów domknięcia \(\displaystyle{ \overline{A}}\), a to domknięcie jest zbiorem domkniętym, więc \(\displaystyle{ x_A \in \overline{A}.}\) W analogiczny sposób uzasadniamy, że: \(\displaystyle{ y_a \in \overline{B}}\). Ponieważ ciąg odległości \(\displaystyle{ d\left( a_n, b_n\right)}\) jest zbieżny do zera, to \(\displaystyle{ d\left( x_a, y_a\right)= 0}\), a stąd \(\displaystyle{ x_a= y_a=:c,}\) i \(\displaystyle{ c \in \overline{A} \cap \overline{B}.}\) Czyli domknięcia \(\displaystyle{ \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ \overline{B}}\) przecinają się. (Dobrze?? )
Jeśli dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2}}\), ich domknięcia przecinają się, to istnieje element \(\displaystyle{ c \in \overline{A} \cap \overline{B}.}\) \(\displaystyle{ }\)
Jeśli \(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\} }\), to zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) muszą być bliskie.
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, to ponieważ \(\displaystyle{ \overline{A}= A \cup Fr\left( A\right)}\) i \(\displaystyle{ \overline{B}= B \cup Fr\left( B\right)}\), to te brzegi \(\displaystyle{ Fr\left( A\right)}\) i \(\displaystyle{ Fr\left( B\right)}\) muszą się przecinać. Istnieje więc element \(\displaystyle{ x \in Fr \left( A\right) \cap Fr \left( B\right)}\).
Przypuśćmy nie wprost, że: \(\displaystyle{ R:= \inf\limits_{x \in A, y \in B} \left\{ d\left( x,y\right) \right\} >0.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{R}{2}>0}\).
Wtedy, z własności brzegu zbioru, otrzymujemy, że koło otwarte \(\displaystyle{ B\left( x, \frac{R}{2} \right)}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ A;}\) i, podobnie: koło otwarte \(\displaystyle{ B\left( x, \frac{R}{2} \right)}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ B}\). Istnieje więc element \(\displaystyle{ a \in A}\), taki, że \(\displaystyle{ a \in B\left( x, \frac{R}{2} \right)}\) , oraz istnieje element \(\displaystyle{ b \in B}\), taki, że \(\displaystyle{ b \in B\left( x, \frac{R}{2} \right)}\). Wtedy: \(\displaystyle{ d\left( x,a\right)< \frac{R}{2},}\) i \(\displaystyle{ d\left( x,b\right)< \frac{R}{2}.}\)
A wtedy, z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ d\left( a,b\right) \le d\left( a,x\right)+ d\left( x,b\right) < \frac{R}{2}+ \frac{R}{2}= R}\).
Ale ponieważ \(\displaystyle{ a \in A, b \in B}\), to \(\displaystyle{ R= \inf\limits_{x \in A, y \in B} \left\{ d\left( x,y\right) \right\}}\), jako ograniczenie dolne zbioru \(\displaystyle{ \left\{ d\left( x,y\right): \ x \in A, y \in B\right\}}\), więc \(\displaystyle{ R \le d\left( a,b\right)}\) -sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ \inf\limits_{x \in A, y \in B} \left\{ d\left( x,y\right) \right\} = 0}\), i zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są bliskie\(\displaystyle{ .\square}\)
Wykażemy jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3,}\) jeśli ich domknięcia przecinają się, tzn. \(\displaystyle{ \overline{A} \cap \overline{B} \neq \left\{ \right\},}\) to zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą bliskie.
DOWÓD TEGO FAKTU::
W topologii mamy wzór Eulera dla wielościanów wypukłych (od tego chyba zaczęła się topologia), ilość jego ścian plus ilość
jego wierzchołków jest równa ilości jego krawędzi powiększonej o dwa.
Np. jeśli mamy ostrosłup o podstawie \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego, to mamy \(\displaystyle{ n+1}\) ścian (\(\displaystyle{ n}\) ścian bocznych i podstawa), mamy \(\displaystyle{ n+1}\) wierzchołków, a ilość krawędzi to \(\displaystyle{ 2n}\)( \(\displaystyle{ n}\) boków w podstawie i \(\displaystyle{ n}\) krawędzi bocznych). Wzór więc działa.
Np. jak mamy graniastosłup o podstawie \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego, to mamy \(\displaystyle{ n+2}\) ścian (\(\displaystyle{ n}\) ścian bocznych plus dolna i górna podstawa), mamy \(\displaystyle{ 2n}\) wierzchołków, i mamy \(\displaystyle{ 3n}\) krawędzi (\(\displaystyle{ n}\) krawędzi zarówno w dolnej jak i w górnej podstawie, oraz \(\displaystyle{ n}\) krawędzi bocznych), wzór więc działa. Niedawno rozważałem tzw. bryły prostokątne (nie muszą być one zbiorami wypukłymi, to są zwykłe kostki, lub też takie kostki mogą mieć wgłębienia w kształcie małych kostek lub takie kostki mogą mieć wyrostki (wybrzuszenia) w kształcie małych kostek ). Wtedy, dla takiej bryły prostokątnej ilość jej ścian plus ilość jej wierzchołków jest równa ilości jej krawędzi powiększonej o \(\displaystyle{ 2}\) i powiększonej o łączną ilość jej wgłębień i wybrzuszeń- więcej na ten temat można przeczytać TUTAJ.
