Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 4 cze 2023, o 15:58To Ty chyba nie wiesz jak jest z rozumieniem matematyki u przeciętnego studenta- rachunki może i dobre, ale rozumienia matematyki to nie mają za grosz.

A ja byłem wyjątkowym studentem (i to według opinii mojej promotor pracy magisterskiej Pani Profesor , niedawno Pani Profesor wystawiła mi taką opinię ), a jednak w takie całkowite abstrakcje to nie wchodzę. Bo SĄ one dla KOSMITÓW. :mrgreen:
No cóż, pozostaje pytanie na podstawie jakiej próbki studentów wyciągasz takie wnioski.

JK
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: AiDi »

Jakub Gurak pisze: 4 cze 2023, o 15:58 ale rozumienia matematyki to nie mają za grosz.
Hmm.
a jednak w takie całkowite abstrakcje to nie wchodzę. Bo SĄ one dla KOSMITÓW. :mrgreen:
Czyli piszesz o sobie z tym brakiem rozumienia matematyki? Ja się z tej książki uczyłem na studiach, a nawet matematyki nie studiowałem.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: arek1357 »

"Zamawiamy to co trzeba bez tych majonezów bo szkoda przepłacać" - luźny cytat z Siekierezady tak mi się nasunął...
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Odkryłem wczoraj, że prosta liczb rzeczywistych ma taką niesłychaną własność:

Jeśli można ją pokryć dwoma zbiorami otwartymi (tzn. znaleźć takie zbiory otwarte \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), że \(\displaystyle{ A \cup B= \RR}\)), to można tą prostą pokryć również dwoma zbiorami domkniętymi- i :!:, i to na zbiory mniejsze (czyli tak, aby pierwszy zbiór domknięty zawierał się w pierwszym zbiorze otwartym, i aby drugi zbiór domknięty zawierał się w drugim zbiorze otwartym). 8-)

Nie wiem na ile rozumiem dowód tego faktu, nie czuje najlepiej tych pojęć topologicznych, ale:

Zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią jest przestrzenią \(\displaystyle{ T _{4}}\), przestrzenią normalną , a dla przestrzeni normalnych taka własność zachodzi, w myśl zadania z "Zarysu topologii ogólnej " Ryszarda Engelkinga, str. 50, ćwiczenie D.

Mogę to zilustrować, w najprostszych przypadkach:\(\displaystyle{ \\}\)
Ciekawa własność prostej .jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
Ciekawa własnośc prostej 2.jpg
Tutaj strzałki pomiędzy dwoma przedziałami oznaczają, że rozważamy sumę tych dwóch zbiorów.
\(\displaystyle{ \\}\)
Ciekawa własnośc prostej 3.jpg
I, podobnie. 8-)

Dodam jeszcze, takie zadanie z ważniaka, mówiące, że dwa ciągi \(\displaystyle{ f,g:\NN \rightarrow \QQ}\), takie, że zawsze \(\displaystyle{ f(n)<g(n)}\) mogą leżeć dowolnie blisko siebie (względem odpowiedniej relacji na ciągach liczb wymiernych).

Wystarczy rozważyć ciąg stały \(\displaystyle{ \left( f_n\right)}\), stale równy \(\displaystyle{ 0}\), oraz ciąg \(\displaystyle{ \left( g_n\right)}\), dany jako:

\(\displaystyle{ g(n)= \frac{1}{n+1} \in \QQ}\).

Wtedy, dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, mamy:

\(\displaystyle{ f(n)= 0< \frac{1}{n+1}= g\left( n\right)}\),

i widać, że ciągi \(\displaystyle{ \left( f_n\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( g _{n} \right) }\) leżą dowolnie blisko siebie, formalnie trzeba byłoby to tutaj jeszcze udowodnić, ale może nie będę tego robił (nie lubię takich zabaw z kwantyfikatorami na liczbach), to nie dla mnie, ja jestem miłośnik zbiorów ogólnych. 8-)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: arek1357 »

Ja idę dalej i potrafię prostą pokryć tylko jednym zbiorem otwartym lub domkniętym...
To wprost niesamowite...Od tej pory nic już nie będzie takie jak było...
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Ciągle myślę nad tym podanym przeze mnie zadaniem, lubię nietypową matematykę. 8-)
Wiem, że w przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X,}\) czy może nawet na zwykłej prostej liczb rzeczywistych, wtedy suma przeliczalnie wielu domkniętych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), wtedy suma takich podzbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.
Czy jednak dla podzbiorów prostej, czy suma przeliczalnie wielu rozłącznych odcinków domkniętych na prostej jest zbiorem domkniętym na prostej :?:
Takie pytanie mnie nurtuje, i jest mi tutaj potrzebne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 12 cze 2023, o 14:47Czy jednak dla podzbiorów prostej, czy suma przeliczalnie wielu rozłącznych odcinków domkniętych na prostej jest zbiorem domkniętym na prostej :?:
Pomyśl o ciągu przedziałów \(\displaystyle{ A_n=\left[ \frac{1}{2n+3},\frac{1}{2n+1}\right] }\) i ciągu liczbowym \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2n+2}.}\)

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Mała usterka- te zbiory nie są całkowicie rozłączne, są prawie rozłączne (mają jednoelementowe przekroje), przy przedziałach domkniętych trzeba uważać na wspólne końce tych przedziałów. :!: :P
Ale można to chyba łatwo poprawić:

Dla numeru \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć:

\(\displaystyle{ A _{n}=\left[ \frac{1}{3n+3}, \frac{1}{3n+1} \right], }\) oraz
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{3n+2}. }\)

Dobrze :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 12 cze 2023, o 19:01 Mała usterka- te zbiory nie są całkowicie rozłączne, są prawie rozłączne (mają jednoelementowe przekroje), przy przedziałach domkniętych trzeba uważać na wspólne końce tych przedziałów. :!: :P
Tak się składa, że wiem, ale to miały być inne przedziały:

\(\displaystyle{ A _{n}=\left[ \frac{1}{4n+1}, \frac{1}{4n+3} \right], }\) oraz
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{4n+2}. }\)
Jakub Gurak pisze: 12 cze 2023, o 19:01 Dla numeru \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć:

\(\displaystyle{ A _{n}=\left[ \frac{1}{3n+3}, \frac{1}{3n+1} \right], }\) oraz
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{3n+2}. }\)

Dobrze :?:
Dobrze, ale ważniejsze jest, o czym to świadczy.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Coś skojarzyłem wczoraj, że zbiór domknięty \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) z każdym ciągiem elementów zbioru \(\displaystyle{ A,}\) zawiera, jako element, jego granicę, tak??

A tu:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } a _{n} = \lim_{ n\to + \infty } \frac{1}{3n+2}=0, }\)

a dla każdego numeru \(\displaystyle{ n,}\) mamy:

\(\displaystyle{ a _{n} \in A _{n} \subset \bigcup_{n \in \NN}A _{n}}\),

a więc jest to ciąg elementów tej sumy zbieżny do \(\displaystyle{ 0,}\)

a \(\displaystyle{ 0 \not\in \bigcup_{n \in \NN }A _{n}, }\)

co uzasadniamy dowodem nie wprost, a więc ta suma nie jest zbiorem domkniętym, dobrze :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że dla dowolnej niepustej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\), jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest nigdziegęsty, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty.

Przypomnijmy ("Zarys topologii ogólnej" Ryszard Engelking, str. 35, tw. 5),

Dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\), dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy (mamy, może nie definicję, lecz charakteryzację):

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty w przestrzeni \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\) ,dokładnie wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym zawarty jest pewien niepusty zbiór otwarty rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\).

I, mamy, charakteryzację zbiorów gęstych:

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty w przestrzeni \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\), dokładnie wtedy, gdy każdy niepusty zbiór otwarty przecina zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Udowodnię dokładnie przytoczony fakt:

Niech \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\) będzie niepustą przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ A \subset X}\) niech będzie zbiorem nigdziegęstym. Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy najpierw, że w naszej przestrzeni topologicznej istnieje niepusty zbiór otwarty (np. \(\displaystyle{ X \neq \left\{ \right\}}\) ), nazwijmy go \(\displaystyle{ B.}\) Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty, więc w myśl naszej charakteryzacji istnieje niepusty zbiór otwarty \(\displaystyle{ C \in T}\), zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) i rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ C \cap A =\emptyset,}\) i \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym zbiorem otwartym, a więc, w myśl charakteryzacji zbiorów gęstych: zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty.\(\displaystyle{ \square}\)

Można też łatwo udowodnić ten fakt dowodem nie wprost:

Gdyby zbiór \(\displaystyle{ A}\) był gęsty, to jego domknięcie \(\displaystyle{ \overline{A}}\) byłoby równe: \(\displaystyle{ \overline{A}=X}\).
A ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty, więc \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest zbiorem brzegowym, a zatem to domknięcie ma puste wnętrze, czyli:

\(\displaystyle{ X= Int(X)= Int(\overline{A})=\emptyset}\),

czyli:

\(\displaystyle{ X= \emptyset}\),

sprzeczność z założeniem.\(\displaystyle{ \square}\) :P

Można też łatwo wykazać, że jeśli w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mamy dwie topologię \(\displaystyle{ T_1}\) i \(\displaystyle{ T_2}\), to ich przekrój \(\displaystyle{ T_1 \cap T_2}\)( wspólne zbiory) jest topologią w \(\displaystyle{ X}\), można to bardzo łatwo udowodnić.


Jeśli mamy przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\), to możemy powiedzieć, że zbiór \(\displaystyle{ B \subset X}\), jest domknięty, dokładnie wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru otwartego, tzn.
\(\displaystyle{ B=A'= X \setminus A}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in T}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
8-)

Możemy powiedzieć podobnie, że:

Zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest otwarty, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru domkniętego w \(\displaystyle{ X.}\)

Gdyż (dla \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy wtedy):

\(\displaystyle{ A}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru domkniętego, dokładnie wtedy, gdy: \(\displaystyle{ A= B'}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subset X}\) jest zbiorem domkniętym, a na mocy faktu powyżej, to zachodzi dokładnie wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \left( A=B' \hbox{ i gdy } \left( B=C', \hbox{ gdzie } C \in T\right) \right) }\) , a to zachodzi dokładnie wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ A= B'}\) i \(\displaystyle{ B'= \left( C'\right)'= C}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in T}\), czyli to zachodzi dokładnie wtedy, gdy: \(\displaystyle{ A=C}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in T}\), a \(\displaystyle{ T}\) jest rozważaną topologią w \(\displaystyle{ X}\), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty.\(\displaystyle{ \square}\)

Możemy też powiedzieć, że dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest otwarty, dokładnie wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym - można to łatwo udowodnić.


Zauważmy, że dwukropek Sierpińskiego, to dla elementów \(\displaystyle{ a,b}\) różnych \(\displaystyle{ a \neq b}\) jest to przestrzeń topologiczna: \(\displaystyle{ \left( \left\{ a,b\right\}; \left\{ \emptyset;\left\{ a\right\}; \left\{ a,b\right\} \right\} \right);}\)

a para uporządkowana \(\displaystyle{ \left( a,b\right),}\) w sensie Kuratowskiego, jest to: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a\right\}; \left\{ a,b\right\} \right\};}\)

możemy zatem powiedzieć, że topologia dwukropka Sierpińskiego jest parą uporządkowaną (w sensie Kuratowskiego) elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) , z dodanym zbiorem pustym jako elementem! :o


Mamy też takie zadanie:

Wykazać, że dla dowolnej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) oraz dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X,}\) mamy (przez \(\displaystyle{ \partial \left( A\right)}\) oznaczam brzeg zbioru \(\displaystyle{ A}\)), mamy:

\(\displaystyle{ Int\left( A\right) = A \setminus \partial (A)}\).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, z własności brzegu zbioru:

\(\displaystyle{ \partial \left( A\right) = \overline{ A} \setminus Int\left( A\right)}\),

więc :

\(\displaystyle{ A \setminus \partial \left( A\right)= A \setminus \left( \overline{A} \setminus Int\left( A\right) \right).}\)

I, dalej, łatwo jest zauważyć, że:

Dla dowolnych trzech zbiorów \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3 \subset X}\), takich, że \(\displaystyle{ X_1 \subset X_2 \subset X_3}\), mamy:

\(\displaystyle{ X_2 \setminus \left( X_3 \setminus X_1\right) = X_1}\),

(polecam narysować to sobie),

więc również:

\(\displaystyle{ A \setminus \left( \overline{A} \setminus Int(A)\right) =Int(A)}\),

bo \(\displaystyle{ Int\left( A\right) \subset A \subset \overline{A}.\square}\) :P

Dodano po 4 dniach 6 godzinach 15 minutach 40 sekundach:
Udowodniłem dzisiaj, że jeżeli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. mamy rodzinę przestrzeni topologicznych na tych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), rodzinę przestrzeni Hausdorffa (\(\displaystyle{ T_2}\)), określonych na zbiorach rozłącznych, to ich suma topologiczna też jest przestrzenią Hausdorffa. Przedstawię teraz formalny dowód tego faktu.


Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną przestrzeni Hausdorffa na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), na zbiorach rozłącznych, tzn. ma być spełniony warunek:
jeśli \(\displaystyle{ a \in \mathbb{B}}\), to element \(\displaystyle{ a}\) jest postaci \(\displaystyle{ a=\left( Y,T_Y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ Y \subset X}\), a rodzina \(\displaystyle{ T_Y}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest topologią na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), (wtedy para \(\displaystyle{ a}\) jest przestrzenią topologiczną), i załóżmy jeszcze, że każda taka para \(\displaystyle{ a}\) jest przestrzenią Hausdorffa, oraz, załóżmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{L}}\) ( jest to rodzina złożona z lewych współrzędnych par z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), a więc jest to rodzina zbiorów na których określone są te topologię), załóżmy, że jest to rodzina zbiorów rozłącznych, a więc, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne.
Możemy wtedy rozważać sumę topologiczną tych przestrzeni na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), którą oznaczymy jako: \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus \mathbb{B}_L\right)}\). Wykażemy, że taka suma jest przestrzenią Hausdorffa.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ x,y \in \bigcup\mathbb{B}_L}\) będą dwoma różnymi elementami tej sumy.
Pokażemy, że takie elementy mają rozłączne otoczenia.

Wtedy \(\displaystyle{ x \in Y_x}\), gdzie \(\displaystyle{ Y_x \in \mathbb{B}_L,}\) i \(\displaystyle{ y \in Y_y}\), gdzie \(\displaystyle{ Y _{y} \in \mathbb{B}_L.}\)

Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przestrzeni Hausdorffa (więc przestrzenie \(\displaystyle{ Y_x}\) i \(\displaystyle{ Y_y}\) są również przestrzeniami Hausdorffa), a zatem rozważmy dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}}\): Jeśli \(\displaystyle{ Y_x= Y_y= Y,}\)

to jest to przestrzeń Hausdorffa, więc ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in Y}\) i \(\displaystyle{ x \neq y}\), więc istnieją otoczenia \(\displaystyle{ U_x}\) i \(\displaystyle{ U_y}\) odpowiednich punktów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będące zbiorami rozłącznymi.

Wtedy te zbiory \(\displaystyle{ U_x}\) i \(\displaystyle{ U_y}\) są otwarte w \(\displaystyle{ Y}\).

I wtedy:

zbiór \(\displaystyle{ U_X \cap Y= U_X}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Y}\),

a dla innego zbioru \(\displaystyle{ Y' \in \mathbb{B}_L}\), gdzie \(\displaystyle{ Y' \neq Y \in \mathbb{B}_L}\), więc ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_L}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, więc zbiory \(\displaystyle{ Y'}\) i \(\displaystyle{ Y}\) muszą być rozłączne; a wtedy:

\(\displaystyle{ \underbrace{U_x}_{ \subset Y} \cap Y' \subset Y \cap Y'= \emptyset}\),

gdyż zbiory \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Y'}\) są rozłączne.

W takim razie również:

\(\displaystyle{ U_x \cap Y'=\emptyset}\),

i jest to zbiór otwarty w \(\displaystyle{ Y'}\), (bo przecież \(\displaystyle{ Y' \in \mathbb{B}_L}\) jest przestrzenią topologiczną).

Otrzymujemy zatem, (w obydwu przypadkach), że:

zbiór \(\displaystyle{ U_x \cap Z}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Z}\), dla każdego ustalonego zbioru \(\displaystyle{ Z \in \mathbb{B}_L}\),

a zatem, z definicji sumy topologicznej: zbiór \(\displaystyle{ U_x}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus \mathbb{B}_L\right).}\)

W analogiczny sposób udowadniamy, że zbiór \(\displaystyle{ U_y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus \mathbb{B}_L\right).}\)

Mamy ponadto \(\displaystyle{ x \in U_x, y \in U_y}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ U_x}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), zbiór \(\displaystyle{ U_y}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ y,}\) i zbiory \(\displaystyle{ U_x}\) i \(\displaystyle{ U_y}\) są rozłączne, a więc punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mają rozłączne otoczenia.

\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}: }\) Jeśli \(\displaystyle{ Y_x \neq Y_y}\), to ponieważ \(\displaystyle{ Y_x \in \mathbb{B}_L}\) i \(\displaystyle{ Y_y \in \mathbb{B}_L}\), a
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_L}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, więc zbiory \(\displaystyle{ Y_x}\) i \(\displaystyle{ Y_y}\) muszą być rozłączne.

Ponieważ \(\displaystyle{ Y _{x} \in \mathbb{B}_L}\), więc łatwo jest pokazać, że: zbiór \(\displaystyle{ Y_x}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_L;}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ Y_y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_L}\) (bo \(\displaystyle{ Y_y \in \mathbb{B} _{L} }\)), a zatem zbiór \(\displaystyle{ Y_x}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), i zbiór \(\displaystyle{ Y_y}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ y,}\) i zbiory \(\displaystyle{ Y_x}\) i \(\displaystyle{ Y_y}\) są rozłączne, a zatem punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mają rozłączne otoczenia,

i para \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus\mathbb{B}_L \right)}\) jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.\(\displaystyle{ \square}\)

W tej mojej książce wykazano również, że suma topologiczna rodziny podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\)- przestrzeni normalnych (\(\displaystyle{ T_4}\)), wtedy ich suma topologiczna jest również przestrzenią normalną.


Można też łatwo udowodnić, że jeżeli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy rodzinę jego podzbiorów, tzn. rodzinę przestrzeni topologicznych na tych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), na zbiorach rozłącznych, rodzinę przestrzeni dyskretnych, to ich suma topologiczna też jest przestrzenią dyskretną, można to łatwo udowodnić. :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Spotkałem dzisiaj takie ciekawe (bo zaskakujące ) zadanie:

Rozważmy dwie kopię zbioru liczb rzeczywistych z naturalną topologią.
Rozważmy płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR \times \RR,}\) oraz dowolne przekształcenie \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR.}\)
Wykazać, że wykres tego przekształcenia \(\displaystyle{ f}\), tzn. zbiór par:

\(\displaystyle{ \left\{ \left(x , f\left( x\right) \right)\Bigl| \ \ x \in \RR\right\}, }\)

jest domkniętym podzbiorem płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR \times \RR.}\)

Jak się za to zabrać :?:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: a4karo »

Bzdura
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Janusz Tracz »

Wątpię. Jako pierwszy kontrprzykład przechodzi mi na myśl jakaś funkcja, która ma gęsty wykres. Gdyby teza była prawdą to \(\displaystyle{ \cl \, f=f}\) i jedocześnie \(\displaystyle{ \cl \, f= \RR^2}\). A potem wziąłem nieciągłą funkcję ze skokiem i dostałem 2 mniej brutalny kontrprzykład. Za to, gdy funkcja jest ciągła to jest to prawda (hint: bo wykres jest pewną poziomicą/przeciwobrazem domkniętego singletonu przez pewną ciągłą funkcję dwóch zmiennych).
ODPOWIEDZ