Proszę o pomoc w zadaniu z topologii.
Zadanie. a) Podaj przykład dwóch zbiorów brzegowych, których suma nie jest brzegowa.
b) Udowodnij, że jeśli zbiór B jest brzegowy, a zbiór A jest brzegowy i domknięty, to zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest brzegowy.
c) W szczególności suma dwóch zbiorów brzegowych i domkniętych jest brzegowa i domknięta.
Jeśli chodzi o część b) zadania to myślę, że to będzie tak:
(I)Zbiór A jest brzegowy \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \overline {X \setminus A}=X \Leftrightarrow X \setminus \overline {X \setminus A}= \emptyset \Leftrightarrow Int A=\emptyset}\)
(II)Załóżmy, że A jest zbiorem brzegowym. Wtedy z powyższego wynika, że \(\displaystyle{ Fr A=\overline A \setminus Int A=\overline A. Zatem A \subset Fr A.}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ Int A=A\Fr A}\), więc\(\displaystyle{ Int A= \emptyset}\). Równość ta oznacza, że A jest zbiorem brzegowym na mocy (I).
Niech A i B będą zbiorami brzegowymi oraz \(\displaystyle{ A=\overline A}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ Fr(A \cup B)= \overline {A\cup B} \cap \overline {X \setminus (A\cup B)} =(\overline A \cup \overline B) \cap \overline {(X \setminus A) \cap (X \setminus B)}= (A\cup \overline B)\cap \overline {(X \setminus A)\cap \overline {X \setminus B}}= (A\cup \overline B)\cap \overline {(X \setminus A)\cap X}= (A\cup \overline B)\cap \overline{X \setminus A}= (A\cup \overline B)\cap X= A\cup \overline B}\)
i mamy, że: \(\displaystyle{ A\cup B \subset A\cup \overline B}\) więc zbiór \(\displaystyle{ A\cup B}\) jest brzegowy na mocy (II).
Jeśli chodzi o podpunkt C) to potrafię udowodnić ,że suma dwóch zbiorów domkniętych i brzegowych jest brzegowa ale nie wiem jak pokazać że jest też domknięta.
Proszę o pomoc w szczególności z podpunktem A). Będę bardzo wdzięczna za odpowiedz.
Zbiory domknięte i brzegowe
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zbiory domknięte i brzegowe
a) zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są brzegowe, a ich suma nie jest.
c) Suma dwóch (lub dowolnie wielu, ale skończenie wielu) zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
b) Nie rozumiem, skąd te (II) i (III). Ja to widzę krótko:
\(\displaystyle{ \overline{X\setminus (A\cup B)}=
\overline{(X\setminus A)\cap (X\setminus B)}=
\overline{(X\setminus A)\cap \overline{X\setminus B}}=\\ \ \\
\overline{(X\setminus A) \cap X}=\overline{X\setminus A}=X}\)
c) Suma dwóch (lub dowolnie wielu, ale skończenie wielu) zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
b) Nie rozumiem, skąd te (II) i (III). Ja to widzę krótko:
\(\displaystyle{ \overline{X\setminus (A\cup B)}=
\overline{(X\setminus A)\cap (X\setminus B)}=
\overline{(X\setminus A)\cap \overline{X\setminus B}}=\\ \ \\
\overline{(X\setminus A) \cap X}=\overline{X\setminus A}=X}\)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2013, o 21:05 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Zbiory domknięte i brzegowe
Na końcu jest błąd - zamiast zbioru pustego, powinna być cała przestrzeń.