Matematyka.pl

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,...\}}\) z metryką \(\displaystyle{ d(x,y)=\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right| }\) wyznacz brzeg kuli \(\displaystyle{ B \left(2, \frac{1}{3} \right)}\).
Ta kula to zbiór \(\displaystyle{ B \left(2, \frac{1}{3} \right)= \{2,3,4,5 \}}\).
Jest dwa podejścia, że brzeg to domknięcie tego zbioru bez jego wnętrza, albo część wspólna domknięcia zbioru i domknięcia jego dopełnienia, ale nie wiem jak to ugryźć w tej przestrzeni...

Pomyśl jak wyglądają małe kule w tej metryce

Dodano po 20 minutach 13 sekundach:
Ale może być również zbiór tych punktów,, których odległość od środka jest równa promieniowi...

Zabawny przykład, gdzie trzeba odwołać się do definicji.

Hmm chyba nie rozumiem pojęcia "małe kule", tzn. jeśli zmniejszę promień to dostanę chyba minimalnie zbiór jednopunktowy. Jeśli wyliczę sobie punkty odległe od środka równo o promień, to dostanę 6 i \(\displaystyle{ \frac{6}{5} }\). No to 6 dobrze, ale \(\displaystyle{ \frac{6}{5} }\) nie jest naturalne.

Więc wynika, że Twój brzeg jest jednopunktowy, tzn. domknięcie kuli to tylko \(\displaystyle{ \left\{ 6\right\} }\)

Podejrzewam nawet , że w tej Twojej przestrzeni są kule, których brzeg jest zbiorem pustym...

Przeczytaj definicję brzegu zbioru

Czy potrafisz zidentyfikować element zbioru, który jest najbliżej `n`? Jaka jest ich odległość? Jak wygląda kula o środku w `n` i promieniu mniejszym niż ta odległość?