Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ U\subseteq \RR^2}\) będzie zbiorem otwartym, spójnym i ograniczonym. Jak wiadomo \(\displaystyle{ \cl\, U}\) jest zbiorem zwartym, a zbiór \(\displaystyle{ \RR^2\setminus \cl \,U}\) ma dokładnie jedną składową nieograniczoną \(\displaystyle{ S}\). Udało mi się pokazać, że \(\displaystyle{ \RR^2\setminus S}\) jest zbiorem spójnym i regularnie domkniętym.

Pytanie: Czy zawsze \(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(\RR^2\setminus S)}\) jest spójny?

Dodano po 5 miesiącach 19 dniach 15 godzinach 47 minutach 25 sekundach:

matmatmm pisze: 6 paź 2023, o 12:17 Pytanie: Czy zawsze \(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(\RR^2\setminus S)}\) jest spójny?

Potrafię to udowodnić pod warunkiem, że zachodzi następująca własność:

(*) Jeśli \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) są składowymi zbioru regularnie otwartego oraz \(\displaystyle{ \partial T\subseteq \partial S}\), to \(\displaystyle{ S=T}\).

Dowód korzystający z powyższej własności. Niech \(\displaystyle{ \mathcal T}\) będzie rodziną składowych zbioru \(\displaystyle{ \RR^2\setminus \cl\, U}\). Mamy

\(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(\RR^2\setminus S)=\RR^2\setminus \cl\, S=(U\cup \partial U\cup \bigcup\mathcal T)\setminus \cl\, S=(U\cup \partial U\setminus \cl\, S)\cup\bigcup_{T\in\mathcal T}(T\setminus \cl\, S)=(U\cup \partial U\setminus \partial S)\cup\bigcup_{T\in\mathcal T\setminus\{S\}}(\cl\,T\setminus \partial S)}\).

Dla każdego \(\displaystyle{ T\in\mathcal T\setminus\{S\}}\) na podstawie własności (*) zbiór \(\displaystyle{ \partial T\setminus\partial S}\) jest niepusty, przy czym \(\displaystyle{ \partial T\subseteq \partial (\RR^2\setminus \cl\, U)=\partial U}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ \cl\,T\setminus \partial\, S}\) jest spójny. Wtedy zbiór \(\displaystyle{ U\cup \partial U\setminus \partial S}\) jest spójny i ma przekrój niepusty z \(\displaystyle{ \cl\,T\setminus \partial\, S}\) dla każdego \(\displaystyle{ T\in\mathcal T\setminus\{S\}}\). \(\displaystyle{ \square}\)

Czy ktoś wie jak udowodnić (ewentualnie obalić) własność (*) ?

Dodano po 6 miesiącach 10 dniach 9 godzinach 56 minutach 14 sekundach:
Mam wrażenie, że jeziora Wady są kontrprzykładem zarówno na własność (*) jak i na główne pytanie. Powiedzcie mi czy dobrze myślę.

Jeśli dobrze zrozumiałem, to jeziora Wady to trzy zbiory \(\displaystyle{ U,V,W}\) otwarte rozłączne spójne ograniczone, które mają identyczny brzeg \(\displaystyle{ F}\).

Kładąc \(\displaystyle{ S=U}\) oraz \(\displaystyle{ T=V}\), zbiór \(\displaystyle{ S\cup T=U\cup V}\) jest regularnie otwarty, bo w domknięciu dochodzi zbiór \(\displaystyle{ F}\), ale każdy punkt \(\displaystyle{ x\in F}\) należy do domknięcia zbioru \(\displaystyle{ W\subset \RR^2\setminus (U\cup V\cup F)}\). Daje kontrprzykład na własność (*).

Z kolei na główne pytanie trzeba wziąć na przykład zbiór \(\displaystyle{ U}\). Wtedy \(\displaystyle{ \RR^2\setminus (U\cup F)}\) nie jest spójny.

Wydaje się także, że wystarczyłby przykład dwóch zbiorów rozłącznych otwartych spójnych ograniczonych \(\displaystyle{ U, V}\) takich, żeby brzegi zbiorów \(\displaystyle{ U, V}\) oraz \(\displaystyle{ \RR^2\setminus \cl(U\cup V)}\) były takie same.

EDIT. Oczywiście jeziora Wady nie są kontrprzykładem na oryginalne pytanie, a jedynie na własność (*). Mój błąd.