Dzień dobry, mam 3 zadania na wyznaczenie domknięć i wnętrz zbiorów. Do zadania 1 mam tylko kilka pytań, ale zadań 2 i 3 nie wiem jak wykonać. Proszę o rady. Pozdrawiam
Zadanie 1 wraz z odpowiedziami:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right) ~~~~~~\left\langle 0,1 \right)~~~~~~~~~~\left( 0,1 \right)}\)
2. \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right\rangle ~~~~~~\left\langle 0,1 \right\rangle~~~~~~~~~~\left( 0,1 \right)}\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle 0,1 \right)~~~~~~\left\langle 0,1 \right)~~~~~~~~~~\left\langle 0,1 \right)}\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle 0,1 \right\rangle~~~~~~\left\langle 0,1 \right\rangle~~~~~~~~~~\left\langle 0,1 \right) }\)
Wnętrza zbiorów zawsze nie są domknięte przy 1, dlatego że w zadaniu jest \(\displaystyle{ \left\langle a,b \right)}\)? Czy to nie ma nic wspólnego?
Zadanie 2:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} \cup \left\{\left\{ q\right\}|~q \in \QQ \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} , \pi \right) }\)
2. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3},\pi \right\rangle }\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle \sqrt{3},\pi \right) }\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle \sqrt{3},\pi \right\rangle }\)
Zadanie 3:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} \cup \left\{\left\{ q\right\}|~q \in \QQ \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( -\sqrt{2} , \sqrt{2} \right) }\)
2. \(\displaystyle{ \left( -\sqrt{2},\sqrt{2} \right\rangle}\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle -\sqrt{2},\sqrt{2} \right)}\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle -\sqrt{2},\sqrt{2} \right\rangle }\)
Wnętrze i domknięcie zbioru.
-
MatmaCiekawa1
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 17 cze 2022, o 16:19
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Wnętrze i domknięcie zbioru.
Musisz sobie uświadomić, że w tym zadaniu masz inną niż zwykła topologię na prostej, dokładnieMatmaCiekawa1 pisze: ↑18 cze 2022, o 16:46Zadanie 1 wraz z odpowiedziami:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right) ~~~~~~\left\langle 0,1 \right)~~~~~~~~~~\left( 0,1 \right)}\)
2. \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right\rangle ~~~~~~\left\langle 0,1 \right\rangle~~~~~~~~~~\left( 0,1 \right)}\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle 0,1 \right)~~~~~~\left\langle 0,1 \right)~~~~~~~~~~\left\langle 0,1 \right)}\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle 0,1 \right\rangle~~~~~~\left\langle 0,1 \right\rangle~~~~~~~~~~\left\langle 0,1 \right) }\)
Wnętrza zbiorów zawsze nie są domknięte przy 1, dlatego że w zadaniu jest \(\displaystyle{ \left\langle a,b \right)}\)? Czy to nie ma nic wspólnego?
Kod: Zaznacz cały
pl.wikipedia.org/wiki/Prosta_SorgenfreyaJK
-
MatmaCiekawa1
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 17 cze 2022, o 16:19
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
Re: Wnętrze i domknięcie zbioru.
To czy odpowiedzi do zadania 2 i 3 by tak wyglądały?Jan Kraszewski pisze: ↑18 cze 2022, o 17:28 Musisz sobie uświadomić, że w tym zadaniu masz inną niż zwykła topologię na prostej, dokładnie - topologię strzałki. A w niej przedziały \(\displaystyle{ (a,b], [a,b]}\) nie są otwarte.
JK
Zadanie 2:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} \cup \left\{\left\{ q\right\}|~q \in \QQ \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} , \pi \right)~~~~~~\left\langle \sqrt{3} , \pi \right) ~~~~~~\left( \sqrt{3} , \pi \right)}\)
2. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3},\pi \right\rangle~~~~~~\left\langle \sqrt{3} , \pi \right\rangle ~~~~~~\left( \sqrt{3} , \pi \right) }\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle \sqrt{3},\pi \right) ~~~~~~\left\langle \sqrt{3} , \pi \right) ~~~~~~\left\langle \sqrt{3} , \pi \right) }\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle \sqrt{3},\pi \right\rangle~~~~~~\left\langle \sqrt{3} , \pi \right\rangle ~~~~~~\left\langle \sqrt{3} , \pi \right) }\)
Zadanie 3:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} \cup \left\{\left\{ q\right\}|~q \in \QQ \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( -\sqrt{2} , \sqrt{2} \right) ~~~~~~\left\langle -\sqrt{2} , \pi \right) ~~~~~~\left( \sqrt{2} , \pi \right)}\)
2. \(\displaystyle{ \left( -\sqrt{2},\sqrt{2} \right\rangle ~~~~~~\left\langle -\sqrt{2} , \pi \right\rangle ~~~~~~\left( \sqrt{2} , \pi \right)}\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle -\sqrt{2},\sqrt{2} \right) ~~~~~~\left\langle -\sqrt{2} , \pi \right) ~~~~~~\left\langle \sqrt{2} , \pi \right)}\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle -\sqrt{2},\sqrt{2} \right\rangle ~~~~~~\left\langle -\sqrt{2} , \pi \right\rangle ~~~~~~\left\langle \sqrt{2} , \pi \right)}\)
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
-
MatmaCiekawa1
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 17 cze 2022, o 16:19
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
Re: Wnętrze i domknięcie zbioru.
Wiem, ale nie wiem co to za topologia i jakoś próbowałem rozwiązać te przykłady. Jeśli są błędne odpowiedzi to mógłbym prosić o poprawne, żebym mógł chociaż wywnioskować lub może jest jakiś link jak w tamtej?
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Wnętrze i domknięcie zbioru.
W tej topologii jest więcej zbiorów otwartych, to jednak nie musi wpływać na odpowiedzi w zadaniu. Zbiory, które były otwarte (bądź domknięte) nadal nimi są, więc czerwone odpowiedzi się nie zmienią (dlaczego?):
JK
edit: Poprawka w kolorach.
musisz natomiast zastanowić się nad odpowiedziami niebieskimi. Np. w 1. domknięcie zbioru \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} , \pi \right)}\) to najmniejszy zbiór domknięty, który go zawiera. Żeby wiedzieć, czy \(\displaystyle{ \cl \left( \sqrt{3} , \pi \right)=\blue{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right)}}\) musisz zatem ustalić, czy zbiór \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} , \pi \right)}\) w tej nowej topologii nie jest przypadkiem domknięty (bo jeśli tak, to będzie on sam swoim domknięciem, a jeśli nie, to niebieska odpowiedź będzie dobra, bo lepszego, tzn. mniejszego domkniętego nadzbioru zbioru \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} , \pi \right)}\) już nie znajdziesz).MatmaCiekawa1 pisze: ↑18 cze 2022, o 18:22 Zadanie 2:
\(\displaystyle{ \RR_{c}=\left( \RR, \tau \right) ~~~~~ \tau = \tau\left( B\right) ~~~~~B = \left\{ \left\langle a,b \right) |~a, b \in \RR \right\} \cup \left\{\left\{ q\right\}|~q \in \QQ \right\} }\)
\(\displaystyle{ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~cl:~~~~~~~~~~~~~Int: }\)
1. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} , \pi \right)~~~~~~\blue{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right)} ~~~~~~\red{\left( \sqrt{3} , \pi \right)}}\)
2. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3},\pi \right\rangle~~~~~~\blue{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right\rangle} ~~~~~~\blue{\left( \sqrt{3} , \pi \right)} }\)
3. \(\displaystyle{ \left\langle \sqrt{3},\pi \right) ~~~~~~\red{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right)} ~~~~~~\red{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right)} }\)
4. \(\displaystyle{ \left\langle \sqrt{3},\pi \right\rangle~~~~~~\red{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right\rangle} ~~~~~~\blue{\left\langle \sqrt{3} , \pi \right)} }\)
JK
edit: Poprawka w kolorach.