Matematyka.pl

Hej, Czy izometria przeprowadza zbiory domkniete na zbiory domkniete?
Próbowałem to udowodnić ale do niczego nie doszedłem w tej sprawie.-- 8 gru 2015, o 21:16 --Dobra, doszedł do tego za pomocą zupełności

Zupełności? Raczej nie.

Najlepiej zbadać to z definicji. Nie jest to trudne, bo izometria zachowuje wszystkie istotne własności przestrzeni metrycznych.

Ahh udowodnilem tylko ze izometria przekształca przestrzeń zupełną na przestrzeń zupełną.

Nie umiem tego zrobić z definicji.

Matiks21, Nie mozesz uzywac pojecia zupelnosci w tej sytuacji.Nie kazda izometria jest miedzy przestrzeniami z metrykami zupelnymi.

Jaka jest definicja zbioru domkniętego?

leg14 pisze:Matiks21, Nie mozesz uzywac pojecia zupelnosci w tej sytuacji.Nie kazda izometria jest miedzy przestrzeniami z metrykami zupelnymi.

mógłbyś mi podać przykład kiedy tak nie jest?

ogólnie żeby mówic o izometrii przestrzeni to muszę mieć wprowadzone metryki na tych przestrzeniach?

Jakie ma własności taka izometria?

Zbiory domknięte na domknięte. Otwarte na otwarte,wypukłe na wypukłe...coś jeszcze?

Izometria nie musi przekształcać zbiorów domkniętych na domknięte.
Przykład: Wystarczy wziąć jakąkolwiek przestrzeń metryczną \(\displaystyle{ X}\), która nie jest dyskretna i dowolny jej podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\), który nie jest domknięty. Na \(\displaystyle{ A}\) rozważamy metrykę pochodzącą z \(\displaystyle{ X}\). Wówczas włożenie \(\displaystyle{ i:A\to X}\) jest izometrią, która przekształca zbiór domknięty \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ A}\), jako cała przestrzeń) na zbiór, który nie jest domknięty (\(\displaystyle{ A}\) nie jest domknięty w \(\displaystyle{ X}\), bo tak go wybraliśmy). Jeśli byśmy chcieli coś bardziej namacalnego, można wziąć na przykład włożenie \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R}\).

Przyklad Andkoma dziala takze przy pytaniu o izometrie przestrzeni,ktora nie jest zupelna (\(\displaystyle{ \QQ}\) z euklidesowa)

Ah, przepraszam za wprowadzenie w błąd - wydawało mi się, że izometria musi być surjekcją.

Tak naprawdę zarówno uwagi o surjektywności, jak i o zupełności są sensowne. Prawdziwe są bowiem następujące dwa proste fakty:

Jeśli izometria \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) przestrzeni metrycznych jest surjekcją, to \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza zbiory domknięte na domknięte.

Niech \(\displaystyle{ X}\) - przestrzeń metryczna. Następujące warunki są równoważne:
1) \(\displaystyle{ X}\) jest zupełna
2) dla dowolnej przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ Y}\) i izometrii \(\displaystyle{ f:X\to Y}\), jeśli \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest domknięty (w \(\displaystyle{ X}\)), to \(\displaystyle{ f(A)}\) też jest domknięty (w \(\displaystyle{ Y}\)).

andkom pisze:
Jeśli izometria \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) przestrzeni metrycznych jest surjekcją, to \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza zbiory domknięte na domknięte.

.

W sensie to twierdzenie wymaga założenia zupełności o X? Bo tak wynika z twierdzenia gdzie podałeś rownowaznosc warunków.

Swoją drogą nie umiem wymyśleć implikacji z b do a.

Matiks21 pisze:

andkom pisze:Jeśli izometria \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) przestrzeni metrycznych jest surjekcją, to \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza zbiory domknięte na domknięte.

W sensie to twierdzenie wymaga założenia zupełności o X? Bo tak wynika z twierdzenia gdzie podałeś rownowaznosc warunków.

Swoją drogą nie umiem wymyśleć implikacji z b do a.

Nie wymaga zupełności. Zupełność pojawia się w drugim (oddzielnym) twierdzeniu.
Ponadto to zacytowane twierdzenie jest tylko w jedną stronę: Jeśli ... to ... . Nie ma żadnej "implikacji z b do a". Jeśli jednak chcemy mieć jakieś twierdzenie w dwie strony bez zupełności, to możemy napisać na przykład takie:

Niech przekształcenie \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) przestrzeni metrycznych będzie izometrią. Następujące warunki są równoważne:
a) \(\displaystyle{ f(X)}\) (zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\)) jest domkniętym podzbiorem \(\displaystyle{ Y}\)
b) obrazem przy działaniu funkcji \(\displaystyle{ f}\) każdego zbioru domkniętego w \(\displaystyle{ X}\) jest zbiór domknięty w \(\displaystyle{ Y}\).

andkom pisze:

Matiks21 pisze:

andkom pisze:Jeśli izometria \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) przestrzeni metrycznych jest surjekcją, to \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza zbiory domknięte na domknięte.

W sensie to twierdzenie wymaga założenia zupełności o X? Bo tak wynika z twierdzenia gdzie podałeś rownowaznosc warunków.

Swoją drogą nie umiem wymyśleć implikacji z b do a.

Nie wymaga zupełności.

Mógłbyś pokazać mi dowód bez warunku na zupełności?

Chodzilo mi o implikacje w tym drugim twierdzeniu z "b "do " a"