Ultrafiltry i Filtry

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
paulina-21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 sty 2023, o 09:43
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Ultrafiltry i Filtry

Post autor: paulina-21 »

Mam do zrobienia zadanko jednak nie wiem jak się za nie zabrać. Bardzo proszę o rozwiązanie wraz z wytłumaczeniem

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ U}\) jest ultrafiltrem, a \(\displaystyle{ F}\) jest filtrem i \(\displaystyle{ U\subseteq F}\), to \(\displaystyle{ U=F}\).
Ostatnio zmieniony 24 sty 2023, o 21:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 32091
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5052 razy

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: Jan Kraszewski »

A jaką masz definicję ultrafiltru?

JK
paulina-21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 sty 2023, o 09:43
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: paulina-21 »

Niestety jest to zadanie dodatkowe i żadnych definicji nie dostałam. Mam jedynie te które znalazłam w internecie, jednak nie wiem, z czego skorzystać żeby to wykazać.

1) Ultrafiltrem w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) nazywamy każdy taki filtr \(\displaystyle{ U}\), którego jedynym rozszerzeniem jest \(\displaystyle{ U}\).
2) W odniesieniu do filtrów w algebrach Boole'a i filtrów podzbiorów danego zbioru - Filtry maksymalne są też często nazywane ultrafiltrami
Ostatnio zmieniony 24 sty 2023, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli matematycznych.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 32091
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5052 razy

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: Jan Kraszewski »

paulina-21 pisze: 24 sty 2023, o 21:53 Niestety jest to zadanie dodatkowe i żadnych definicji nie dostałam.
No to trochę bez sensu, bo jedną z równoważnych definicji ultrafiltru jest właśnie ta, że jest to filtr maksymalny. Wtedy Twoje zadanie jest "puste", bo wynika wprost z definicji.

JK
paulina-21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 sty 2023, o 09:43
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: paulina-21 »

A jak można to w prosty sposób pokazać na jakimś przykładzie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 32091
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5052 razy

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale co?

JK
paulina-21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 sty 2023, o 09:43
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: paulina-21 »

Jeżeli wezmę sobie niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), który zawiera dwa różne elementy \(\displaystyle{ a, b\in X }\) i rozważymy sobie rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \{F \in 2^{X}: a \in F \cap b \in F\}}\) to widać, że \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest filtrem. Ale nie jest ultrafiltrem bo ma rozszerzenie \(\displaystyle{ G=\{F\in 2^{X}: a \in F\}}\).
Jak to przekształcić, żeby \(\displaystyle{ F}\) było jednocześnie ultrafiltrem?
Ostatnio zmieniony 24 sty 2023, o 22:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 . Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 32091
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5052 razy

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: Jan Kraszewski »

paulina-21 pisze: 24 sty 2023, o 22:13Jak to przekształcić, żeby \(\displaystyle{ F}\) było jednocześnie ultrafiltrem?
Nie rozumiem, co masz na myśli. \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest filtrem, który nie jest ultrafiltrem, a \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) jest ultrafiltrem. Co chcesz przekształcać?

JK
paulina-21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 sty 2023, o 09:43
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: paulina-21 »

Ja musze to zadanie jakoś wykazać na przykładzie pomimo, że jest ono "puste".
I w tym proszę o pomoc :)

Czy mógłbyś mi coś zasugerować?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 32091
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5052 razy

Re: Ultrafiltry i Filtry

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale ja nie rozumiem, na czym miałoby to "rozwiązanie" polegać. Stwierdzenie "wykazać zadanie na przykładzie" jest wg mnie bezsensowne.

JK
ODPOWIEDZ