Prosze o pomoc z tym zadaniem :
\(\displaystyle{ Niech\ S^{n-1}=\lbrace(x _{1},x _{2},...,x _{n}) \mathbb{R}^{n}: \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=1\rbrace \ bedzie \ sfera \ (n - 1)-wymiarowa \ o\ srodku \ w \ poczatku \ ukladu \ i \ promieniu \ 1. \ Dla \ dowolnych \ x \ = \ (x_{1},x_{2},...,x_{n}), \ y \ =(y_{1},y_{2},...,y_{n}), \ x,y S ^{n-1}, \ niech\\ d_{s}(x,y) \ = \ arccos( \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} ). \\ Udowodnic \ ze \ tak \ podana \ metryka \ d_{s} \ jest \ metryka \ w \ sferze \ S^{n-1}}\)
Udowodnij ze zdefiniowana funkcja jest metryka
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij ze zdefiniowana funkcja jest metryka
Być może da się też czysto algebraicznie, ale tak na oko udowodnienie w ten sposób trzeciego warunku wygląda na mocno nietrywialne. Dlatego proponuję inną drogę.
W przestrzeni euklidesowej kąt między wektorami \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest równy:
\(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{}{||x|| \cdot ||y|| }}\)
Łatwo więc zauważyć, że nasza funkcja każdej parze wektorów jednostkowych przypisuje po prostu kąt między nimi.
Sprawdzenie dwóch pierwszych warunków jest w takiej interpretacji proste, jeśli chodzi natomiast o trzeci, to zauważmy, że wystarczy go udowodnić dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) oraz dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Istotnie, jeśli mamy dowód dla tych dwóch przypadków, to mamy też całą resztę. Jeśli bowiem \(\displaystyle{ O=(0,0, \dots, 0) \in \mathbb{R}^n}\) oraz \(\displaystyle{ A,B,C \in S^{n-1}}\), to przez punkty \(\displaystyle{ O,A,B,C}\) przechodzi albo dokładnie jedna przestrzeń trójwymiarowa, albo dokładnie jedna płaszczyzna (nigdy natomiast prosta, bo \(\displaystyle{ A,B,C}\) nie mogą być współliniowe). A kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{OA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{OB}}\) (i odpowiednio pozostałymi) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) to to samo co kąt w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OAB}\) (co być może wymaga chwili zastanowienia).
Pozostaje dowieść tezy dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\). Dla \(\displaystyle{ n=2}\) nie ma czego dowodzić (no, prawie
), natomiast dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy ładne zadanie ze stereometrii:
Niech \(\displaystyle{ OABC}\) będzie ostrosłupem takim, że rzut wierzchołka \(\displaystyle{ O}\) na podstawę \(\displaystyle{ ABC}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOC > AOC}\).
Zostawiam do potrenowania wyobraźni (mi zajęło dłuższą chwilę, zanim wpadłem na to, że to oczywiste ) .
Uf, mam nadzieję, że da się ten wywód jakoś zrozumieć.
Pozdrawiam.
Qń.
W przestrzeni euklidesowej kąt między wektorami \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest równy:
\(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{}{||x|| \cdot ||y|| }}\)
Łatwo więc zauważyć, że nasza funkcja każdej parze wektorów jednostkowych przypisuje po prostu kąt między nimi.
Sprawdzenie dwóch pierwszych warunków jest w takiej interpretacji proste, jeśli chodzi natomiast o trzeci, to zauważmy, że wystarczy go udowodnić dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) oraz dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Istotnie, jeśli mamy dowód dla tych dwóch przypadków, to mamy też całą resztę. Jeśli bowiem \(\displaystyle{ O=(0,0, \dots, 0) \in \mathbb{R}^n}\) oraz \(\displaystyle{ A,B,C \in S^{n-1}}\), to przez punkty \(\displaystyle{ O,A,B,C}\) przechodzi albo dokładnie jedna przestrzeń trójwymiarowa, albo dokładnie jedna płaszczyzna (nigdy natomiast prosta, bo \(\displaystyle{ A,B,C}\) nie mogą być współliniowe). A kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{OA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{OB}}\) (i odpowiednio pozostałymi) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) to to samo co kąt w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OAB}\) (co być może wymaga chwili zastanowienia).
Pozostaje dowieść tezy dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\). Dla \(\displaystyle{ n=2}\) nie ma czego dowodzić (no, prawie
), natomiast dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy ładne zadanie ze stereometrii:Niech \(\displaystyle{ OABC}\) będzie ostrosłupem takim, że rzut wierzchołka \(\displaystyle{ O}\) na podstawę \(\displaystyle{ ABC}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOC > AOC}\).
Zostawiam do potrenowania wyobraźni (mi zajęło dłuższą chwilę, zanim wpadłem na to, że to oczywiste ) .
Uf, mam nadzieję, że da się ten wywód jakoś zrozumieć.
Pozdrawiam.
Qń.