\(\displaystyle{ (R ^{2} ,d)}\) - przestrzeń metryczna
d - zwykła metryka
Udowodnić że każdy zbiór otwarty jest sumą kwadratów postacj I x J gdzi I,J są odcinkami otwartymi o końcach wymiernych
udowodnić że zbiór otwarty ....
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
udowodnić że zbiór otwarty ....
Lemacik: Kazdy otwarty zbior zawiera pewien otwarty kwadrat o wspolrzednych wymiernych.
Dowod: Skoro zbior jest otwarty, to zawiera kule (z definicji topologii pochodzacej od metryki), czyli pewne kolo otwarte. Z kolei kazde kolo otwarte zawiera pewien kwadrat (np. wpisany w to kolo). W koncu ten kwadrat zawiera kwadrat otwarty o wspolrzednych wymiernych - z gestosci.
Teraz do zadania.
Niech U bedzie zbiorem otwartym.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) bedzie zbiorem wszystkich kwadratow otwartych o wymiernych wspolrzednych wierzcholkow.
\(\displaystyle{ V=\bigcup\{K\in\mathcal{K}:K U\}}\).
Oczywiscie \(\displaystyle{ V U}\).
Mamy tez
\(\displaystyle{ U \overline{V}}\).
Przypuscmy bowiem, ze \(\displaystyle{ W=U\setminus V \emptyset}\). W jest zbiorem otwartym,roznica otwartego i domknietego, wiec zawiera, na mocy lemaciku pewien kwadrat o wspolrzednych wymiernych. To z kolei prowadzi do sprzecznosci, bo V jest suma wszystkich kwadratow zawartych w U majacych wymierne wspolrzedne.
Mamy zatem
\(\displaystyle{ \overline{V} = \overline{U}}\).
Co wraz z:
\(\displaystyle{ V\stackrel{otw}{ } U}\)
daje teze.
Dowod: Skoro zbior jest otwarty, to zawiera kule (z definicji topologii pochodzacej od metryki), czyli pewne kolo otwarte. Z kolei kazde kolo otwarte zawiera pewien kwadrat (np. wpisany w to kolo). W koncu ten kwadrat zawiera kwadrat otwarty o wspolrzednych wymiernych - z gestosci.
Teraz do zadania.
Niech U bedzie zbiorem otwartym.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) bedzie zbiorem wszystkich kwadratow otwartych o wymiernych wspolrzednych wierzcholkow.
\(\displaystyle{ V=\bigcup\{K\in\mathcal{K}:K U\}}\).
Oczywiscie \(\displaystyle{ V U}\).
Mamy tez
\(\displaystyle{ U \overline{V}}\).
Przypuscmy bowiem, ze \(\displaystyle{ W=U\setminus V \emptyset}\). W jest zbiorem otwartym,roznica otwartego i domknietego, wiec zawiera, na mocy lemaciku pewien kwadrat o wspolrzednych wymiernych. To z kolei prowadzi do sprzecznosci, bo V jest suma wszystkich kwadratow zawartych w U majacych wymierne wspolrzedne.
Mamy zatem
\(\displaystyle{ \overline{V} = \overline{U}}\).
Co wraz z:
\(\displaystyle{ V\stackrel{otw}{ } U}\)
daje teze.