Matematyka.pl

Zamierzam niebawem w prosty sposób rozwiązać zagadnienie czterech barw; jednak wczoraj wieczorem, jak poszedłem spać, to zdałem sobie sprawę o pewnym głupim problemie (tzn. była to nieciekawa przeszkoda), którą chciałem pokonać w podobny sposób jak w książce 'Co to jest matematyka' R.Courant-a i H.Robbins-a prostowali pewną rzecz we wprowadzeniu do twierdzenia o pięciu barwach. Jednak nie rozumiem tego do końca.
Twierdzenie to mówi, że każda mapa na płaszczyźnie może być pokolorowana w sposób właściwy przy użyciu co najwyżej pięciu barw (tzn. tak aby dwa obszary mające pewien łuk brzegu wspólny były pokolorowane innymi kolorami).
W tej książce piszą:

Możemy założyć, że w każdym wierzchołku spotykają się dokładnie trzy łuki.Taką mapę nazywamy mapą regularną.

- i to chcę tylko tutaj zrozumieć.
Dalej piszą:

Jeśli bowiem zastąpimy każdy wierzchołek w którym spotykają się więcej niż trzy łuki przez małe koło

- małe, tzn., ja rozumiem, że chodzi tu o koło nie będące nadzbiorem żadnego z obszarów mających ten wspólny wierzchołek;
dalej piszą:

i połączymy wnętrze każdego koła z jednym z obszarów stykających się w wierzchołku

zachodzi pytanie: co to znaczy?? Ale już chyba wiem: myślę, że chodzi tu o to, aby z punktu brzegu takiego koła, punktu leżącego wewnątrz jednego z tych rozważanych obszarów(a może wzdłuż brzegu jednego z takich obszarów??) połączyć taki punkt linią z naszym wierzchołkiem, i zachowując lewy i prawy brzeg jednego takiego obszaru (oraz naszą linie), a resztę linii odrzucając, to wtedy koło zostanie podzielone na trzy części. A oni piszą, że wtedy:

otrzymamy nową mapę, w której wierzchołki trzykrotne zastępują wierzchołki wielokrotne.

To akurat jest dla mnie jasne.
Dalej piszą:

Nowa mapa będzie miała tyle samo obszarów co nasza dana mapa.

Czy na pewno
Mi się wydaje, że wtedy z każdym takim wierzchołkiem wielokrotnym, dojdą tutaj po prostu trzy nowe obszary.
Dalej argumentują:

Jeśli tą nową mapę, która jest regularna można pokolorować w sposób właściwy pięcioma kolorami, to kurcząc koła do punktów otrzymamy pokolorowanie naszej danej mapy.

Zachodzi pytanie:
Czy kurcząc koła do punktów (zapewne raczej: do zbiorów jednopunktowych złożonych ze środka danego koła), czy wtedy ilość użytych kolorów nie zmienia się/zmniejsza się/zwiększa się, no i dlaczego? I na czym polega dokładniej to kurczenie koła do punktu, jak dokładniej wygląda ta konstrukcja (wszak nie wiem, jak z powrotem pojawiają się odrzucone linie, a może o co innego tutaj chodzi??). Czy ktoś może to dokładniej wyjaśnić
(Nie lubie wróżyć z fusów).