Matematyka.pl

Bardzo proszę o szybką pomoc !!!

1. Udowodnić, że jedynymi podzbiorami spójnymi w przestrzeni liczb wymiernych, w przestrzeni liczb niewymiernych oraz w zbiorze Cantora są zbiory jednopunktowe.

2. Niech A będzie domkniętym podzbiorem zwartej i spójnej przestrzeni topologicznej X. Pokazać, że istnieje domknięty i spójny zbiór \(\displaystyle{ B \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ A \subset B}\) i żaden właściwy domknięty spójny podzbiór zbioru B nie zawiera A.

3. Pokazać, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) jest spójna i dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\), \(\displaystyle{ f ^{-1}(y)}\) jest zbiorem spójnym, to f jest funkcją ciągłą.

3) Przeciwobrazy punktów są spójne, a więc są przedziałami (być może jednopunktowymi); łatwo widać, że domkniętymi. Skoro są rozłączne dla różnych punktów w obrazie, to najwyżej dla przeliczalnie wielu są to przedziały nietrywialne, a dla pozostałych są to pojedyncze punkty. Wybierzmy teraz \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) i dowolny zbieżny do niego ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\); załóżmy, że \(\displaystyle{ (f(x_{n}))}\) nie zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\), wówczas istnieje podciąg \(\displaystyle{ (x_{n_{k}})}\) taki, że (na przykład) \(\displaystyle{ f(x_{n_{k}}) > f(x)+\alpha}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ \alpha>0}\). Weźmy teraz dowolny przedział otwarty U zawierający \(\displaystyle{ x}\); jego obraz jest przedziałem zawierającym \(\displaystyle{ f(x)}\) i pewną liczbę większą niż \(\displaystyle{ f(x)+\alpha}\). Jak wyżej napisałem, w przedziale \(\displaystyle{ (f(x),f(x)+\alpha)}\) istnieje liczba c, której przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\) jest jednopunktowy. Teraz, w razie potrzeby, zmniejszamy przedział U, by nie leżała w nim liczba \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\), wówczas \(\displaystyle{ f(U)}\) nie może zawierać przedziału \(\displaystyle{ [f(x),f(x)+\alpha]}\), a zawiera jego końce; sprzeczność ze spójnością f.
Strasznie to brzydkie i maksymalnie wykorzystujące założenia, która pewnie można mocno osłabić, ale niech już tak zostanie.

dziękuję ślicznie!

Btw 3, funkcje, dla których przeciwobrazy punktów są spójne, są nazywane w topologii funkcjami monotonicznymi (ang. monotone). Jest to bardzo ważna klasa funkcji, w szczególności w teorii continuów (zbiorów spójnych, zwartych).

Wydaje się być ok (domknięty zbiór spójny na prostej ma jedną z postaci \(\displaystyle{ \{a\},[a,b],[a,\infty),(-\infty,b]}\)).

Wasilewski pisze:3) Przeciwobrazy punktów są spójne, a więc są przedziałami (być może jednopunktowymi); łatwo widać, że domkniętymi. Skoro są rozłączne dla różnych punktów w obrazie, to najwyżej dla przeliczalnie wielu są to przedziały nietrywialne, a dla pozostałych są to pojedyncze punkty. Wybierzmy teraz \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) i dowolny zbieżny do niego ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\); załóżmy, że \(\displaystyle{ (f(x_{n}))}\) nie zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\), wówczas istnieje podciąg \(\displaystyle{ (x_{n_{k}})}\) taki, że (na przykład) \(\displaystyle{ f(x_{n_{k}}) > f(x)+\alpha}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ \alpha>0}\). Weźmy teraz dowolny przedział otwarty U zawierający \(\displaystyle{ x}\); jego obraz jest przedziałem zawierającym \(\displaystyle{ f(x)}\) i pewną liczbę większą niż \(\displaystyle{ f(x)+\alpha}\). Jak wyżej napisałem, w przedziale \(\displaystyle{ (f(x),f(x)+\alpha)}\) istnieje liczba c, której przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\) jest jednopunktowy. Teraz, w razie potrzeby, zmniejszamy przedział U, by nie leżała w nim liczba \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\), wówczas \(\displaystyle{ f(U)}\) nie może zawierać przedziału \(\displaystyle{ [f(x),f(x)+\alpha]}\), a zawiera jego końce; sprzeczność ze spójnością f.

To w takim razie czy jeśli tak to rozpiszę to jest ok?